6.1正弦函数和余弦函数的性质（2）
上音安师附中李少保。
上海市市北中学余化。
一、教学内容分析。
正余弦函数的性质（值域、最大（小）值、周期性、奇偶性、单调性）是继学生学习了正余弦函数的图像后的重要内容。是深入学习后继数学知识及解决实际问题的基本工具。尤其是三角函数的周期性在物理学中、科技生产中有着广泛的应用。
在本节学习中，涉及到数形结合、类比、换元、化归等数学思想方法。通过解决有关实际问题，充分显示了三角函数**于实践需要，同时又广泛应用于客观实际。
本单元重点掌握正（余）弦函数的值域；正（余）弦函数取得最大小值时的自变量的取值集合。理解函数周期性定义，会求一般正（余）弦函数的周期。掌握正（余）弦函数的奇偶性及单调区间。
会用正（余）弦函数的性质解决简单的实际问题。
二、教学目标设计。
1）掌握正（余）弦函数的值域（有界性）.
2）掌握正（余）弦函数取最大（小）值时，自变量x的取值集合。
3）会用正（余）弦函数的值域（有界性）解决相关实际应用问题。
三、教学重点及难点。
正（余）弦函数取最大（小）值时，自变量x的取值集合。
四、教学用具准备。
教具、学具、多**设备。
五、教学流程设计。
正弦函数图像正弦函数值域。
正弦函数取最大值时x的取值集合应用举例。
六、教学过程设计。
正弦函数和余弦函数的值域。
一、 情景引入。
1．观察。在上节课中，我们**了正余弦函数的图像。请同学们观察图像。
2．思考。正余弦函数的值域是什么？值域的涵义是什么？
3．讨论：回忆正弦函数图像的作图过程。结合正弦线的长度变化情况易得。
二、学习新课。
1．概念辨析 y=sinx 的值域是［-1，1］
当且仅当。当且仅当。
类似地。y=cosx 的值域是［-1，1］
当且仅当。当且仅当。
正弦函数、余弦函数的值域相同，但取得最大值1和最小值-1时的x的集合不同。
2．例题分析
例1．求下列函数的定义域与值域。
分析：①∵y=sinx 的定义域为r，值域是［-1，1］；
的定义域应是2x∈r，即x∈r，值域是［］；
虽然y=cosx的定义域为r，值域是［-1，1］.但本题中-2cosx作为二次根式的被开方数，所以-2cosx≥0，即cosx≤0.根据余弦比的符号可求得x求值范围，并由0≤-2cosx≤2，可得函数值域。
解：①定义域为r，值域是［］；
定义域为，值域为。
例2.见课本。
例3. 见课本。
3．问题拓展
关于例2.一般地函数。
当a＞0, ,此时x的取值可由解得。
此时x的取值可由解得。
当a＜0, ,此时x的取值可由解得。
此时x的取值可由解得。
关于例3.一般地对于，可化为正弦形式。对于实际问题求最大小值时，要注意角x的取值范围。
三、巩固练习。
1、已知α是第四象限角，且求实数m的取值范围。
2、函数的值域为［-4,2］,求a、b的值。
3、求函数的定义域和值域。
四、课堂小结。
正（余）弦函数的值域、取得最大（小）值时的x取集合值。
五、作业布置。
1、求函数的值域。
2、求函数的最大值、最小值及其相应的x值。
3、要在一个半径为r的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形abcd，问应如何截取，并求出此矩形的面积。
4、求函数的值域。
正弦函数余弦函数的图像和性质 2
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