一元二次方程根的分布。
例1、已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数的取值范围。
解：由即即为所求的范围。
例2、已知方程有两个不等正实根，求实数的取值范围。
解：由或即为所求的范围。
例3、当取何实数值时，关于的方程两个实根都大于2？
解：设，则。
所以当-5＜m≤-4时，方程的两个实根大于2．
例4．已知关于的方程的两个不等实根都在区间（0，2）内，求实数m的取值范围．
变式：设集合，，若，求实数的取值范围。
解：，设，则。
若，则。此时，，即，解得；
若，由得；从而，或，即实数的取值范围为。
例5．如方程有且一根在区间内，求的取值范围。
解：设，则。
由即得出；若为原方程的一个实根，则，，此时原方程为，方程的另一个根为；
若为原方程的一个实根，则，，此时原方程为，方程的另一个根为。
从而，即实数的取值范围为。
注：对两根有且仅有一根在内有以下特殊情况：若或，则此时不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为或，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间内，从而可以求出参数的值。
练习题。1．设有一元二次方程．试问：
1)当为何值时，有一正根、一负根；
2)当为何值时，有一根大于1、另一根小于1；
3)当为何值时，有两正根；
4)当为何值时，有两负根；
5)m为何值时，仅有一根在[1，4]内？
解：(1)设方程一正根，一负根，显然、，依违达定理有．∴
反思回顾：x1、x2＜0条件下，ac＜0，因此能保证△＞0．
2)设＜1，＞1，则x1-1＜0，x2-1＞0只要求，即
依韦达定理有．
3)若x1＞0，x2＞0，则x1+x2＞0且x1，x2＞0,故应满足条件。
依韦达定理有。
5)由图象不难知道，方程f(x)＝0在[3，4]内仅有一实根条件为f(3)·f(4)＜0，即。
9+6(m-1)+(m+2)]·16+8(m-1)+(m+2)]＜0．
(7m+1)(9m+10)＜0．
2．已知函数的图象都在x轴上方，求实数k的取值范围．
3．已知关于x的方程的有两个实根α，β满足条件α∈（2，0），∈1，3），求实数a的取值范围．
解：设f（x）=3x2-5x＋a，由图象特征可知方程f（x）=0的两根α，β并且α∈（2，0），β1，3）的。
解得-12＜a＜0．
4．方程在区间上有一根求实数的取值范围。
解：因为可化为，所以方程的根为1与，由得即为所求；
5．若二次函数的图象与两端点为，的线段ab有交点，求实数的取值范围。
6．若，求证：方程，（1）有两个异号实根；（2）正根必小于，负根必大于。
7．（2023年广东高考试题）已知a是实数，函数，如果函数在区间[-1，1]上有零点，求实数a的取值范围。
解析1：函数在区间[-1，1]上有零点，即方程=0在[-1，1]上有解，a=0时，不符合题意，所以a≠0,方程f(x)=0在[-1，1]上有解<=>或或或或a≥1.
所以实数a的取值范围是或a≥1.
解析2：a=0时，不符合题意，所以a≠0,又。
=0在[-1，1]上有解，在[-1，1]上有解在[-1，1]上有解，问题转化为求函数[-1，1]上的值域；设t=3-2x，x∈[-1，1]，则，t∈[1,5]，设，时，，此函数g(t)单调递减，时， >0,此函数g(t)单调递增，∴y的取值范围是，∴ 0在[-1，1]上有解∈或。
2教案《二次函数性质》
4.2 二次函数的性质。教学目的 结合图像进一步掌握二次函数的性质，领会二次函数的应用。教学重点 结合图像掌握二次函数的性质。教学难点 对性质的应用。教学方法 讲练结合。教学过程 一 阅读与思考 1.结合我们学过的二次函数图像思考 函数的性质 图像的开口方向，顶点坐标，对称轴，单调区间，最大值与最小...
二次函数性质
课题 4.2二次函数的性质 2 第5周第4课时编写人 付建峰审核人 宁安强审批人 李军平。编写时间 2012年9月13日高一 班 组姓名 组评 师评 使用说明 1 根据学习目标，课前认真预习，完成自主学习内容 2 课上认真思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题 3 当堂完成课堂...
二次函数的性质
教学目标 1 掌握二次函数解析式的三种形式，并会选用不同的形式，用待定系数法求二次函数的解析式。2 能根据二次函数的解析式确定抛物线的开口方向，顶点坐标，和对称轴 最值和增减性。3 能根据二次函数的解析式画出函数的图像，并能从图像上观察出函数的一些性质。教学重点 二次函数的解析式和利用函数的图像观察...