二次函数的图象和性质。
一、学习目的：
1. 理解并掌握二次函数的概念。
2. 了解二次函数的图象的位置关系。
3. 会求二次函数的顶点坐标，对称轴方程及最大值或最小值。
4. 会画二次函数的图象，能解较复杂的二次函数题目。
二、基本知识及说明：
1. 函数叫做二次函数。
2. 二次函数的图象是顶点在原点的抛物线。其性质是时，抛物线的开口向上；时，抛物线的开口向下；对称轴是轴；顶点坐标是(0,0)；时， =0； =0.
3. 和，通过解析式我们得知，对于同一个自变量的值，的值总比的值大或小||个单位。(如。
对于每一个的值，的值总比的值小于3个单位。而，对于同一个的值的值大3个单位)这一特点反映在函数图象上就是将的图象上的各点向上平移||个单位。()此时的对称轴仍是轴，而顶点坐标是(0,),它的开口方向与的图象的开口一样，；而的图象与的图象各点具有对于同一个值，值不同，譬如列表：
对于同一个，在中，对应的是-3和3,在中，对应的值是-6和0.而-6比-3小3个单位，0比3小3个单位，这说明：对于同一个所对应的值，总比所对应的值小3个单位。yx
这些特性反映在图象上就是将图象上各点向左平移3个单位得到函数的图象上的点，函数的图象整个向左平移3个单位得到的图象。同理，将的图象向右平移2个单位得到的图象，总之将的图象向左或向右平移|h|个单位(h>0时向左移动；h<0时，向右移)就得到的图象，由于图象左右移动，对称轴发生变化，不是轴了，而是直线，顶点是(0).
由于的图象是将的图象向上平移2个单位，而是由的图象向左平移3个单位，所以是由的图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到的，其顶点是(-3,2),对称轴是。
4.抛物线的顶点坐标、对称轴方程的求法有2种：一种是将配方成的形式，如：
= …加上并减去一次项系数的一半的平方)
所以顶点是(-3,2),对称轴是。
另一种是直接套用公式。顶点，对称轴是。因同学们配方不太熟练，准确性不高；因此最好用公式求，尤其是当系数是整数时。
5.抛物线的顶点是，也可写成。
若》0, >0,则，即顶点的纵坐标为负，则顶点在轴下方，而抛物线向上伸展，所以抛物线一定与轴相交。
0x若》0, ,顶点在轴上方，抛物线向下伸展，则抛物线与轴也一定有两个交点。 y
0x若=0,无论。即顶点在轴上，抛物线与轴只有一个交点。
若<0, ,顶点在轴上方，而抛物线向上伸展，故与轴不相交。 y
0xy若<0, ,抛物线向下伸展，所以抛物线与轴不相交。
所以，(1) >0抛物线一定与轴有两个交点。
(2) =0,抛物线与轴有一个交点。
(3) <0,抛物线与轴没有交点。
判断抛物线与轴有无交点，就是判定的值是正还是负。
再例如求与轴的交点坐标，因交点在轴上，也在抛物线上，所以纵坐标，即，；所以与轴交点坐标是(3,0)和(-1,0).这说明求抛物线轴的交点坐标，就要求的根，交点坐标是()和(),而求与轴的交点坐标，就是。
6.求解二次函数的图象，应先求出顶点坐标，对称轴方程，然后按照对称性列表、描点、连线。
如：解出的图象。
解：顶点坐标是(-3,2),对称轴是。
列表，得：描点、连线，得：yx
三、练习。1. 填空题：
⑴将的图象向上平移3个单位，得到函数___的图象，其顶点坐标是___对称轴方程是___
⑵将的图象向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到函数___的图象，顶点坐标是___对称轴是___
函数的图象的顶点关于轴的对称点的坐标是___
⑷中， ,则它的开口向___顶点在第___象限。
⑸将配方成的形式是顶点坐标是___对称轴是___
⑹抛物线与轴的交点坐标是___与轴交点坐标是___
⑺二次函数有最小值-4,且图象的对称轴在轴的右侧，则的值是___
⑻交于a,b,顶点是c,则s△abc=__
⑼与轴交于a,b,与轴交于c,则s△abc=__
⑽已知二次函数的图象经过(1,3)和(0,4)及(2,6)三点，则二次函数解析式是。
⑾抛物线与轴交于a,b两点，b在a的右侧，点p是抛物线在轴上方部分的一点，且s△abp=6,则a点坐标是___b点坐标是___p点坐标是___
⑿已知二次函数的图象经过(1,1),还经过一次函数的图象与轴，轴的交点，则函数解析式为___顶点坐标是___
⒀已知二次函数的图象经过(-1,-)b(0,-4),c(4,0)三点，则二次函数的解析式是___顶点d的坐标是___对称轴方程是___s四边形obdc=__
2. 选择题：
1 如果的图象经过(1,4),(0,2)和(-2,-8)三点，则的值是：
a. 4 b. 0 c. 6 d. -6
2 同号，异号，在同一直角坐标系中二次函数与一次函数的图象大致是：
yyyy0 x0 x 0 x 0 x
abcd.3 二次函数的图象如图所示，则的值是：
ab. cd.
4 抛物线的顶点在轴上，则顶点坐标是：
a.(4,0) b.(,0) c.(-0) d.(0,)
5 要使关于的方程的两根的平方根最小，则等于：
a. 0 b. –1 c. 1 d. 2
3. 解答题：
已知二次函数的图象经过a(2,4),其顶点的横坐标是，它的图象与轴交点为b()和()，且。
求：①此函数的解析式，并画出图象。
②在轴上方的图象上是否存在着d,使s△abc=2s△dbc.若存在，求出d的值；若不存在，说明理由。
四、练习答案：
1. 填空题：
(0,3)轴 ⑵(3,4)
(-3,1) ⑷下二1,2)
(3,0)和(-,0) (0,) 2(提示：)
a(-1,0) b(3,0) p点(0,3)和(2,3) (提示：ab=4 设p() s△abp=6 则||=3 =3 因为p在抛物线上，所以)
d(+1,-)11面积单位 (提示：做出图象，s四边形obdc=s△obd+s△ocd 而s△obd= s△cod)
2. 选择题：
①b ②d ③c ④c ⑤c
3.解答题：
由题意得①因为)
由②得： 代入①得：
将代入③得：
不合题意，
所以 ∴b(3,0)
设dy c(-2,0)
则s△abca(2,4)
s△dbcd()
将 c(-2,0b(3,0) xd
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