第一章函数的初等性质的定义
1. 函数的单调性。
定义1【1】 设函数f(x)的定义域为d。若对任何当《时，总有f()f(),则称函数f(x)为d上的增函数，特别地，当成立严格不等式f()f()时，称f为d上的严格减函数；增函数与减函数统称为单调函数，严格增函数和严格减函数统称为严格单调函数。例如y=在r上是严格增的。
1.1.1 函数单调的充要条件。
若为区间上的单调递增函数，为区间内的任意两个数，则有：或（）；
若为区间上的单调递减函数，为区间内的任意两个数，则有：
或（）。1.1.2 由单调函数的四则运算得到的函数单调性的判断。
对两个单调函数和，如果它们的定义域分别为和，并且有：
（1）当与具有相同的增减性时，函数、的增减性与（或）相同，而、
的增减性不能确定；
2）当与具有相异的增减性时，假设为增函数，为减函数，那么：
1）、的增减性不能确定；
2）、为增函数，为减函数。
2. 函数的周期性。
定义【1】 设f为定义在数集d上的函数，若存在》0,使得对一切，有f()=f(),则称f为周期函数，成为函数f的一个周期。若为f的一个周期，则（n为正整数）也是f的周期。若在周期函数f的所有周期中有一个最小的周期，称此最小周期为f的基本周期，简称周期。
通常所说的周期函数是指最小正周期。例如的周期均为，则是周期为的函数。
注1：狄利克雷函数d（x）是以任何有理数为周期的函数。
1.2．1 周期函数的运算性质。
性质1： 若（t为常数），则；
性质2： 若（为常数），则；
性质3： 若，则；
性质4： 若，则；
性质5： 若设为正常数，，并且有，则以为周期。
3.函数的奇偶性。
定义3【1】 设d为对称于原点的数集，f为定义在d上的函数。若对每一个，有，就称为奇函数；若对每一个，有，就称为偶函数。 例如与是奇函数，是偶函数，而既不是奇函数，也不是偶函数。
1. 3.1 奇函数的几何意义。
具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称，奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称。
1. 3.2 由具有奇偶性的函数的四则运算所得到的函数的奇偶性的判断。
对两个具有奇偶性的函数和，如果它们的定义域分别为和，并且有：
1）当与具有相同的奇偶性时，假设为奇函数时，那么就有：
函数、也为奇函数；
、为偶函数；
2）当与具有相异的奇偶性时，那么就有：
函数、的奇偶性不能确定；
函数、、为奇函数。
4.函数的对称性。
定义4【2】 设函数，对任意的，都有，则有函数关于直线对称。一般的，如果对任意的，都有，则函数关于直线对称。
1.4.1函数的自对称
1）关于轴对称的函数（偶函数）的充要条件是；
2）关于原点对称的函数（奇函数）的充要条件是；
3）关于直线对称的函数的充要条件是。
1.4.2 两个函数的图像的对称性。
（1）函数与关于轴对称。
（2）函数与关于轴对称。
（3）函数与关于直线对称。
（4）函数与关于直线对称。
（5）函数与关于点对称。
（6）函数与关于直线对称。
（7）函数与关于直线对称。
若，则有函数的图像关于点。
第二章函数初等性质间的关系。
2.1 函数周期性与对称性关系。
如第一章函数周期性的定义可知以下两个性质：1）设函数的定义域为d，若存在一个常数，使得对任意的-，有且有恒成立，则称函数的图像关于直线轴对称，而直线称为函数的图形的一条对称轴；2）设函数的定义域为d，若存在常数，使得对任意的-，有且有恒成立，则称函数的图形关于点（）中心对称，而点（）被称为函数的一个对称中心。
但是，就一般情况而言，周期函数的图形不一定有对称轴，也不一定有对称中心，比如：（）是周期函数，它有无数多条对称轴和无数多个对称中心（）；是周期为的周期函数，但它没有对称轴，却有无数个对称中心（）；而狄利克雷函数d（x）=是周期函数，它没有对称中心却有无数条对称轴。
若周期函数的图形具有对称轴或具有对称中心，则会具有如下特点：
定理1【3】设函数的定义域为d，的周期为t的周期函数，若的图形有一条对称轴，则它的图形有无数多条对称轴： 。
证明：设，对于任意（）d,由是周期为t的周期函数，可知有且；
又因为的图形有一条对称轴，有，且，再由是周期为t的周期函数，有（）d，且，则有，所以的图形有无数多条对称轴： 。
定理2 设函数的定义域为d，的周期为t的周期函数，若的图形有一个对称中心（），则它的图形有无数多个对称中心（）（
证明：设，对于任意（）d,由是周期为t的周期函数，可知有且；
又图像有一个对称中心（），有，且，再由是周期为t的周期函数，有（）d, 且，即有，所以的图形有无数多个对称中心：（）
由上可知，若函数设函数的定义域为d，的图形有对称轴或有对称中心，函数也未必是周期函数，例如，有一个对称轴： =0，而=（）有一个对称中心（0,0），但它们都不是周期函数。
鉴于这样的情况，我们自然就想问：如果函数有对称轴或者对称中心，那么在什么条件下是一个周期函数？下面的结论回答了这个问题：
定理3 设函数的定义域为d，若的图形有两条对称轴（），则是周期为的周期函数。
证明：若设的图形有两条对称轴（），则对任意的，由，有，且=，由=-（有，且=，则有=，又，有=,由=，有，又由，可知，所以是周期为的周期函数。
定理4 设函数的定义域为d，若的图形有对称轴，且有对称中心（），则是周期为t=的周期函数。
证明：若的图形有对称轴，且有对称中心（），则对于任何，由，得，且有=，又由=，可得=,且+=，因此有=，易知有，由=，可知且，由于，则t=>0,是周期为的周期函数。
2.1.1 周期函数的对称性。
定理5 若点a（）是周期函数的对称中心，则对任意的，点也是它的对称中心。（其中t是的周期）
证明：设的周期为t，点a（）是图像的对称中心。
a) 先证点b（）是图像的对称中心；
由于图像关于点a对称，因此当点属于的图像时，则点（）也属于的图像，从而有。
=，从而当点属于的图像时，点也属于的图像，因此图像关于点（）对称。
b) 再证对任意整数，图像关于点都对称；
由于==，则当点属于的图像时，点也属于的图像，又因与点是关于对称，因此，图像关于点都对称，像周期函数有一个对称中心，它的周期为，对任意的，点都是它的对称中心。
定理6 如果是周期函数的一条对称轴，那么（，t为的周期）也是该函数的对称轴。
证明：首先当是显然成立；当时，令则===由函数的图像关于直线对称的充要条件是：对任意的，有且成立以及的任意性知道直线是图像的对称轴，下面用第二数学归纳法证明：
对任意的，成立。
1） 先证对时的整数成立。
由上面的已知和时成立，设为时成立，则为时。
===即对的整数式成立。
2） 当时，令，则，则由上面已证的结论可知：
当则（）时式成立，因此，对任意的式都成立。
由两个已知结论：1)点a()关于点p()的对称点是b()；
3） 点a()关于直线的对称点是b()，说明对任意的，点与点是图像上关于直线（）的对称点，也就是图像有无数条对称轴。像周期函数有一条对称轴是，周期t=，即对任意的，直线都是它的对称轴。
2.2 函数奇偶性、周期性及图像对称性的关系。
上面我们从理论上研究了函数周期性与对称性的关系，以及得到了一些常用的结论，下面我们先通过一个问题来研究函数奇偶性、周期性及图像对称性之间的关系：
问题【4】：设函数在定义域上满足，且在闭区间上，只有，试判断的奇偶性。
解：由，可得的图像有两个对称轴分别是和，则有===所以t=10是的一个周期，又因为，，所以，因此函数是非奇非偶函数。
上述过程中用到了函数的周期性，则我们不禁要问这个周期t=10是怎么知道的呢？此题的关键是的图像有两个对称轴与，t=2，同时我们发现，如果函数的图像有一条对称轴（或者）且它是周期t=10的周期函数，就可以征得的图像还有一条对称轴（或者）。
由上面这道题我们受到了启发，研究下面的三种情况以及由相应的命题所得的相关推论：
情况1：二次轴对称与周期性、奇偶性。
命题1 设是定义在r上的函数，给出已知的三个论断：（1）的图像关于直线对称；（2）的图像关于直线对称；（3）是的周期函数，其中。我们可知由上面已知的任意两个论断可以推出第三个论断。
下面只证由（1）（2）推出（3），其它两个命题可类似征得。
证明：因为的图像关于直线对称，则可知，又由的图像关于直线对称，则有，从而有=，即是周期t=的周期函数。
可得以下两个推论：
推论1 设是定义在r上的函数，它的图像关于直线与对称（），则函数的图像有无数条平行于轴的对称轴，即有，其中。特别的，当中有且仅有一个为0，此时是偶函数，则命题1就变成：
推论2 设是定义在r上的函数，给出已知的三个论断：（1）是偶函数；（2）的图像关于直线对称；（3）是的周期函数，其中。则可以由任意两个论断推得第三个论断。
针对此推论中的函数的奇偶性、对称性和周期性这三个性质是否可简单概括为：已知任意的两个性质可推得第三个性质呢？我们可知以下几个结论：
结论1 偶函数如果有关于非轴的对称轴，则一定为周期函数。
证：因为满足，且有，其中，则有==，由此可见，是周期为t=的周期函数。
结论2 奇函数如果有关于非轴的对称轴，则必为周期函数。
证明：由于有关于非轴的对称轴，则有且满足=-，则可知=-=从而是周期为t=的周期函数。
结论3 偶函数如果具有周期性，则必有与轴平行的对称轴。
证明：因为满足，且有其中t，则可有=，从而的对称轴为，并且可知都是的对称轴。
结论4 奇函数如果有周期性，则它不一定有对称轴。
例如，是奇函数，且它还有周期性，但是它没有的对称轴。
结论5如果具有周期性且有（）的对称轴的函数不一定具有奇偶性。
例如，就说明了这个结论。
命题2 设的图像关于直线对称且是以为最小正周期的周期函数，当且仅当： =时，其中，函数是偶函数。
初等函数的性质
一 选择题 共20小题 1 已知a r，设集合a 则a的子集个数共有 2 函数的定义域是 1 2，5 则其值域是 3 设函数y f x 与函数g x 的图象关于x 3对称，则g x 的表达式为 4 定义新运算 当a b时，a b a 当a b时，a b b2，则函数f x 1 x x 2 x x 2...
函数的性质 初等函数 函数与方程
第三练函数的基本性质。6 已知f x 是定义在r上的增函数，对x r有f x 0，且f 5 1，设f x f x 讨论f x 的单调性，并证明你的结论。解 这是抽角函数的单调性问题，应该用单调性定 决。在r上任取x1 x2，设x1 f x 是r上的增函数，且f 5 1，当x 5时0 f x 1,而当...
初等函数的基本性质
上课内容 1 上课重点 函数单调性，奇偶性的综合运用，函数高考题的常见题。2 上课规划 解题方法及技巧。一函数基本性质初步练习。函数基本性质 单调性，奇偶性，周期性。例 1.设函数为奇函数，则。2.已知是上的减函数，解不等式。练 函数是上的偶函数，当时，是减函数，解不等式。例 已知是定义在r上的偶函...