第一部分专题整合突破。
专题一函数与导数、不等式。
第1讲函数、基本初等函数的图象与性质。
一、填空题。
1．已知f(x)＝ln(1＋x)的定义域为集合m，g(x)＝2x＋1的值域为集合n，则m∩n
解析由对数与指数函数的知识，得m＝(－1，＋∞n＝(1，＋∞故m∩n＝(1，＋∞
答案 (1，＋∞
2．(2014·南京、盐城模拟)函数f(x)＝ln x＋的定义域为___
解析要使函数f(x)＝ln x＋有意义，则解得0＜x≤1，即函数定义域是(0,1]．
答案 (0,1]
3．(2014·南通、扬州、泰州、宿迁调研)若loga＜1，则a的取值范围是___
解析由对数函数的真数大于0得＞0，解得a＞1，所以loga＜1等价于0＜＜a，解得a＞4.
答案 (4，＋∞
4．(2013·镇江调研)已知函数y＝log2(ax－1)在(1,2)上单调递增，则a的取值范围为___
解析根据复合函数的单调性及对数函数的定义域求解．因为y＝log2(ax－1)在(1,2)上单调递增，所以u＝ax－1在(1,2)单调递增，且恒大于0，即a≥1.
答案 [1，＋∞
5．(2014·镇江模拟)若a＝log3π，b＝log76，c＝log20.8，则a，b，c由小到大的顺序为___
解析因为a＝log3π＞1,0＜b＝log76＜1，c＝log20.8＜0，故c＜b＜a.
答案 c＜b＜a
6．(2014·宿迁模拟)已知函数f(x)＝loga (0＜a＜1)为奇函数，当x∈(－1，a]时，函数f(x)的值域是(－∞1]，则实数a＋b的值为___
解析由函数f(x)＝loga (0＜a＜1)为奇函数，得b＝1.令＝t，x∈(－1，a]，所以t∈.又0＜a＜1，所以y＝logat，t∈时单调递减，则值域＝(－1]，所以loga＝1，即＝a，解得a＝－1(舍负)，所以a＋b＝.
答案 7．(2014·济南模拟)已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围是___
解析 f′(x)＝3x2＋1>0，∴f(x)在r上为增函数．
又f(x)为奇函数，由f(mx－2)＋f(x)<0知，f(mx－2) 令g(m)＝mx＋x－2，由m∈[－2,2]知g(m)<0恒成立，可得∴－2 答案
8．已知函数y＝f(x)是r上的偶函数，对x∈r都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立．当x1，x2∈[0,2]，且x1≠x2时，都有<0，给出下列命题：
①f(2)＝0；
②直线x＝－4是函数y＝f(x)图象的一条对称轴；
③函数y＝f(x)在[－4,4]上有四个零点；
④f(2 014)＝0.
其中所有正确命题的序号为___
解析令x＝－2，得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，解得f(－2)＝0，因为函数f(x)为偶函数，所以f(2)＝0，①正确；因为f(－4＋x)＝f(－4＋x＋4)＝f(x)，f(－4－x)＝f(－4－x＋4)＝f(－x)＝f(x)，所以f(－4＋x)＝f(－4－x)，即x＝－4是函数f(x)的一条对称轴，②正确；当x1，x2∈[0,2]，且x1≠x2时，都有<0，说明函数f(x)在[0,2]上是单调递减函数，又f(2)＝0，因此函数f(x)在[0,2]上只有一个零点，由偶函数知函数f(x)在[－2,0]上也只有一个零点，由f(x＋4)＝f(x)，知函数的周期为4，所以函数f(x)在(2,4]与[－4，－2)上也单调，因此，函数在[－4,4]上只有2个零点，③错；对于④，因为函数的周期为4，即有f(2)＝f(6)＝f(10)＝…f(2 014)＝0，④正确．
答案 ①②二、解答题。
9．已知函数f(x)＝loga(x＋1)(a>1)，若函数y＝g(x)的图象上任意一点p关于原点对称的点q的轨迹恰好是函数f(x)的图象．
(1)写出函数g(x)的解析式；
(2)当x∈[0,1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围．
解 (1)设p(x，y)为g(x)图象上任意一点，则q(－x，－y)是点p关于原点的对称点，因为q(－x，－y)在f(x)的图象上，所以－y＝loga(－x＋1)，即y＝－loga(1－x)(x<1)．
(2)f(x)＋g(x)≥m，即loga≥m.
设f(x)＝loga，x∈[0,1)．
由题意知，只要f(x)min≥m即可．
因为f(x)在[0,1)上是增函数，所以f(x)min＝f(0)＝0.
故m的取值范围是(－∞0]．
10．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a＞0)，f(x)＝若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立．
(1)求f(x)的表达式；
(2)当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求k的取值范围．
解 (1)∵f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0，∴b＝a＋1，∴f(x)＝ax2＋(a＋1)x＋1.
∵f(x)≥0恒成立，∴
即。∴a＝1，从而b＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋1，∴f(x)＝
(2)由(1)知，g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1.
∵g(x)在[－2,2]上是单调函数，∴≤2或≥2，解得k≤－2或k≥6.
所以k的取值范围是(－∞2]∪[6，＋∞
11．(2013·苏北四市调研)已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈r且e为自然对数的底数)．
(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；
(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．
解 (1)∵f(x)＝ex－x，且y＝ex是增函数，y＝－x是增函数，所以f(x)是增函数．由于f(x)的定义域为r，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
(2)由(1)知f(x)是增函数和奇函数，∴f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈r恒成立。
f(x2－t2)≥f(t－x)对一切x∈r恒成立。
x2－t2≥t－x对一切x∈r恒成立。
t2＋t≤x2＋x对一切x∈r恒成立。
2≤对一切x∈r恒成立。
2≤0t＝－.
即存在实数t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x都成立．
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