函数 基本初等函数的图象与性质

发布 2022-09-23 03:59:28 阅读 8744

第一部分专题整合突破。

专题一函数与导数、不等式。

第1讲函数、基本初等函数的图象与性质。

一、填空题。

1.已知f(x)=ln(1+x)的定义域为集合m,g(x)=2x+1的值域为集合n,则m∩n

解析由对数与指数函数的知识,得m=(-1,+∞n=(1,+∞故m∩n=(1,+∞

答案 (1,+∞

2.(2014·南京、盐城模拟)函数f(x)=ln x+的定义域为___

解析要使函数f(x)=ln x+有意义,则解得0<x≤1,即函数定义域是(0,1].

答案 (0,1]

3.(2014·南通、扬州、泰州、宿迁调研)若loga<1,则a的取值范围是___

解析由对数函数的真数大于0得>0,解得a>1,所以loga<1等价于0<<a,解得a>4.

答案 (4,+∞

4.(2013·镇江调研)已知函数y=log2(ax-1)在(1,2)上单调递增,则a的取值范围为___

解析根据复合函数的单调性及对数函数的定义域求解.因为y=log2(ax-1)在(1,2)上单调递增,所以u=ax-1在(1,2)单调递增,且恒大于0,即a≥1.

答案 [1,+∞

5.(2014·镇江模拟)若a=log3π,b=log76,c=log20.8,则a,b,c由小到大的顺序为___

解析因为a=log3π>1,0<b=log76<1,c=log20.8<0,故c<b<a.

答案 c<b<a

6.(2014·宿迁模拟)已知函数f(x)=loga (0<a<1)为奇函数,当x∈(-1,a]时,函数f(x)的值域是(-∞1],则实数a+b的值为___

解析由函数f(x)=loga (0<a<1)为奇函数,得b=1.令=t,x∈(-1,a],所以t∈.又0<a<1,所以y=logat,t∈时单调递减,则值域=(-1],所以loga=1,即=a,解得a=-1(舍负),所以a+b=.

答案 7.(2014·济南模拟)已知函数f(x)=x3+x,对任意的m∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<0恒成立,则x的取值范围是___

解析 f′(x)=3x2+1>0,∴f(x)在r上为增函数.

又f(x)为奇函数,由f(mx-2)+f(x)<0知,f(mx-2) 令g(m)=mx+x-2,由m∈[-2,2]知g(m)<0恒成立,可得∴-2 答案

8.已知函数y=f(x)是r上的偶函数,对x∈r都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立.当x1,x2∈[0,2],且x1≠x2时,都有<0,给出下列命题:

①f(2)=0;

②直线x=-4是函数y=f(x)图象的一条对称轴;

③函数y=f(x)在[-4,4]上有四个零点;

④f(2 014)=0.

其中所有正确命题的序号为___

解析令x=-2,得f(-2+4)=f(-2)+f(2),解得f(-2)=0,因为函数f(x)为偶函数,所以f(2)=0,①正确;因为f(-4+x)=f(-4+x+4)=f(x),f(-4-x)=f(-4-x+4)=f(-x)=f(x),所以f(-4+x)=f(-4-x),即x=-4是函数f(x)的一条对称轴,②正确;当x1,x2∈[0,2],且x1≠x2时,都有<0,说明函数f(x)在[0,2]上是单调递减函数,又f(2)=0,因此函数f(x)在[0,2]上只有一个零点,由偶函数知函数f(x)在[-2,0]上也只有一个零点,由f(x+4)=f(x),知函数的周期为4,所以函数f(x)在(2,4]与[-4,-2)上也单调,因此,函数在[-4,4]上只有2个零点,③错;对于④,因为函数的周期为4,即有f(2)=f(6)=f(10)=…f(2 014)=0,④正确.

答案 ①②二、解答题。

9.已知函数f(x)=loga(x+1)(a>1),若函数y=g(x)的图象上任意一点p关于原点对称的点q的轨迹恰好是函数f(x)的图象.

(1)写出函数g(x)的解析式;

(2)当x∈[0,1)时总有f(x)+g(x)≥m成立,求m的取值范围.

解 (1)设p(x,y)为g(x)图象上任意一点,则q(-x,-y)是点p关于原点的对称点,因为q(-x,-y)在f(x)的图象上,所以-y=loga(-x+1),即y=-loga(1-x)(x<1).

(2)f(x)+g(x)≥m,即loga≥m.

设f(x)=loga,x∈[0,1).

由题意知,只要f(x)min≥m即可.

因为f(x)在[0,1)上是增函数,所以f(x)min=f(0)=0.

故m的取值范围是(-∞0].

10.已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a>0),f(x)=若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立.

(1)求f(x)的表达式;

(2)当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求k的取值范围.

解 (1)∵f(-1)=0,∴a-b+1=0,∴b=a+1,∴f(x)=ax2+(a+1)x+1.

∵f(x)≥0恒成立,∴

即。∴a=1,从而b=2,∴f(x)=x2+2x+1,∴f(x)=

(2)由(1)知,g(x)=x2+2x+1-kx=x2+(2-k)x+1.

∵g(x)在[-2,2]上是单调函数,∴≤2或≥2,解得k≤-2或k≥6.

所以k的取值范围是(-∞2]∪[6,+∞

11.(2013·苏北四市调研)已知函数f(x)=ex-e-x(x∈r且e为自然对数的底数).

(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性;

(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由.

解 (1)∵f(x)=ex-x,且y=ex是增函数,y=-x是增函数,所以f(x)是增函数.由于f(x)的定义域为r,且f(-x)=e-x-ex=-f(x),所以f(x)是奇函数.

(2)由(1)知f(x)是增函数和奇函数,∴f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈r恒成立。

f(x2-t2)≥f(t-x)对一切x∈r恒成立。

x2-t2≥t-x对一切x∈r恒成立。

t2+t≤x2+x对一切x∈r恒成立。

2≤对一切x∈r恒成立。

2≤0t=-.

即存在实数t=-,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立.

函数 基本初等函数的图象与性质

第一部分专题整合突破。专题一函数与导数 不等式。第1讲函数 基本初等函数的图象与性质。一 填空题。1 已知f x ln 1 x 的定义域为集合m,g x 2x 1的值域为集合n,则m n 解析由对数与指数函数的知识,得m 1,n 1,故m n 1,答案 1,2 2014 南京 盐城模拟 函数f x ...

初等函数的图象与性质

集合的概念和运算。1 已知集合,用列举法写出集合。2 已知集合,则集合的子集一共有个,从中取出一子集,子集中含的概率是 3 已知集合,则。4 已知集合,则。5 已知集合,则。6 已知集合,若,则实数 初等函数的图象与性质。认知提示。1 反思整理,悟而后修。2 常见的基本初等函数有常数函数 一次函数 ...

函数与基本初等函数 10

第6讲对数与对数函数。基础巩固题组。建议用时 40分钟 一 填空题。1 如果 0,那么x,y,1的大小关系是 解析 又y 是 0,上的减函数,x y 1.答案 1 y x 2 2014 深圳调研 设f x 为定义在r上的奇函数,当x 0时,f x log3 1 x 则f 2 解析 f 2 f 2 l...