课时强化作业七十直线与圆的位置关系。
基础强化。一、选择题。
1．过圆内接△abc的顶点a引切线交bc延长线于d，若∠b＝35°，∠acb＝80°，则∠d＝(
a．45° b．50°
c．55° d．60°
解析：∵ad与圆相切，∴∠abc＝∠cad＝35°，又∠acd＝180°－80°＝100°，∠d＝180°－∠acd－∠cad＝180°－100°－35°＝45°.
答案：a2．(2014届哈师大附中高三月考)ab是半圆o的直径，c、d是半圆上的两点，半圆o的切线pc交ab的延长线于点p，∠pcb＝25°，则∠adc为( )
a．105° b．115°
c．120° d．125°
解析：∵pc是⊙o的切线，∴∠bdc＝∠pcb，又∠adb＝∠acb，∴∠adc＝∠acb＋∠pcb＝115°.
答案：b3．如图，过点p的直线与⊙o相交于a，b两点，pa＝1，ab＝2，po＝3，则⊙o的半径等于( )
a. b．3
c. d.
解析：取ab的中点c，则oc⊥bp，cp＝ap＋ac＝2，oc＝＝，又ob＝＝.
答案：c4.(2015届南京市高三月考)如图，ab，cd是圆o的两条弦，它们相交于ab的中点p，若pc＝，op＝，pd＝，则圆o的半径为( )
a．1 b.
c. d.
解析：∵由pc＝，pd＝，pc·pd＝pa·pb＝pb2＝，得pb＝，又∵p为ab的中点，∴op⊥ab，r＝＝1.
答案：a5．如图，ab是⊙o的直径，p是ab延长线上的一点，过p作⊙o的切线，切点为c，pc＝2，若∠cap＝30°，则⊙o的直径ab等于( )
a．2 b．4
c．6 d．2
解析：连接oc，则由pc是切线知oc⊥pc.
由∠cap＝30°，知∠cop＝60°，故∠cpa＝30°.
因为pc＝2，故po＝4.
设半径为r，则pb＝4－r，pa＝4＋r.
由pc2＝pa·pb知12＝16－r2，r＝2，∴ab＝4.故选b.
答案：b6．如图，pa切⊙o于点a，割线pbc经过圆心o，ob＝pb＝1，oa绕点o逆时针旋转60°到od，则pd的长为( )
a. b.
c. d．7
解析：过点d作de⊥pc垂足为e，∵∠pod＝120°，∠doc＝60°，可得oe＝，de＝，在rt△ped中，∴pd＝＝＝
答案：a二、填空题。
7．如图，eb、ec是⊙o的两条切线，b、c是切点，a、d是⊙o上两点，如果∠e＝46°，∠dcf＝32°，则∠a的度数是___
解析：由题意得∠ecb＝＝67°，又∠dcf＝32°，∴bcd＝180°－67°－32°＝81°，又abcd为圆内接四边形，∴∠a＝180°－81°＝99°.
答案：99°
8.(2024年湖南卷)如图，在半径为的⊙o中，弦ab，cd相交于点p，pa＝pb＝2，pd＝1，则圆心o到弦cd的距离为。
解析：连接od，取cd的中点m，则圆心o到弦cd的距离为om，由相交弦定理得pa·pb＝dp·pc解得pc＝4，所以md＝＝.
所以om＝＝＝
答案：9．如图，点a，b，c都在⊙o上，过点c的切线交ab的延长线于点d，若ab＝5，bc＝3，cd＝6，则线段ac的长为。
解析：由切割线定理得cd2＝bd·da，又cd＝6，ab＝5，∴36＝bd(bd＋5)，得bd＝4，又∠a＝∠bcd，△bcd∽△cad，＝，得ac＝＝＝
答案：三、解答题。
10．(2024年辽宁卷)如图，ab为⊙o的直径，直线cd与⊙o相切于e，ad垂直cd于d，bc垂直cd于c，ef垂直ab于f，连接ae，be.证明：
1)∠feb＝∠ceb；
2)ef2＝ad·bc.
证明：(1)由直线cd与⊙o相切，得∠ceb＝∠eab.
由ab为⊙o的直径，得ae⊥eb，从而∠eab＋∠ebf＝；又ef⊥ab，得∠feb＋∠ebf＝，从而∠feb＝∠eab.故∠feb＝∠ceb.
2)由bc⊥ce，ef⊥ab，∠feb＝∠ceb，be是公共边，得rt△bce≌rt△bfe，所以bc＝bf.
类似可证：rt△ade≌rt△afe，得ad＝af.
又在rt△aeb中，ef⊥ab，故ef2＝af·bf，所以ef2＝ad·bc.
能力提升。1．如下图，ab是半圆的直径，点c在半圆上，cd⊥ab，垂足为d，且ad＝5db，设∠cod＝θ，则tanθ＝(
a. b.
c. d.
解析：设圆的半径为r，因为ad＝5db，所以ad＋db＝2r，即6db＝2r，所以db＝r，od＝r，ad＝r，由相交弦定理可得cd2＝ad·bd＝r2，所以cd＝r，所以tanθ＝＝
答案：d2.如图，⊙o与⊙p相交于a，b两点，点p在⊙o上，⊙o的弦bc切⊙p于点b，cp及其延长线交⊙p于d，e两点，过点e作ef⊥ce交cb延长线于点f.
若cd＝2，cb＝2，则ef的长为( )
a．1 b.
c．2 d．2
解析：连接pb，bc切⊙p于点b，pb⊥bc，cd＝2，cb＝2，由切割线定理得：cb2＝cd·ce，ce＝4，de＝2，bp＝1，又∵ef⊥ce，∴△cpb∽△cfe，得＝，∴ef＝.
答案：b3．如图，ad，ae，bc分别与圆o切于点d，e，f，延长af与圆o交于另一点g.给出下列三个结论：
①ad＋ae＝ab＋bc＋ca；②af·ag＝ad·ae；③△afb∽△adg.其中正确结论的序号是( )
a．①②b．②③
c．①③d．①②
解析：ad＝ab＋bd＝ab＋bf，ae＝ac＋ce＝ac＋cf，ad＋ae＝ab＋ac＋bc，①正确，△afd∽△adg，＝，af·ag＝ad2，ad＝ae，af·ag＝ad·ae，②正确，显然③不正确．
答案：a4．(2024年重庆卷)过圆外一点p作圆的切线pa(a为切点)，再作割线pbc依次交圆于b，c.若pa＝6，ac＝8，bc＝9，则ab
解析：由切割线定理得pa2＝pb·pc＝pb·(pb＋bc)，即62＝pb·(pb＋9)，解得pb＝3(负值舍去)．由弦切角定理知∠pab＝∠pca，又∠apb＝∠cpa，故△apb∽△cpa，则＝，即＝，解得ab＝4.
答案：45．如图所示，已知ab是⊙o的直径，cd与ab相交于点e，∠acd＝60°，∠adc＝45°，则∠aec
解析：如图，连接bc，由圆周角定理推论2知∠acb＝90°，∠acd＝60°，∠dcb＝30°，的度数＝60°.
∠adc＝45°，的度数＝90°，∠aec＝(＋的度数＝75°.
答案：75°
6．(2015届常州高三月考)如图，ab是⊙o的直径，c、f是⊙上的两点，oc⊥ab，过点f作⊙o的切线fd交ab的延长线于点d.连接cf交ab于点e.
求证：de2＝db·da.
证明：连接of.
因为df切⊙o于f，所以∠ofd＝90°，所以∠ofc＋∠cfd＝90°，因为oc＝of，所以∠ocf＝∠ofc.
因为co⊥ab于o，所以∠ocf＋∠ceo＝90°.
所以∠cfd＝∠ceo＝∠def，所以df＝de.
因为df是⊙o的切线，所以df2＝db·da.
所以de2＝db·da.
7．(2024年辽宁卷)如图，ep交圆于e、c两点，pd切圆于d，g为ce上一点且pg＝pd，连接dg并延长交圆于点a，作弦ab垂直ep，垂足为f.
1)求证：ab为圆的直径；
2)若ac＝bd，求证：ab＝ed.
证明：(1)因为pd＝pg，所以∠pdg＝∠pgd.
由于pd为切线，故∠pda＝∠dba.
又由于∠pgd＝∠ega，故∠dba＝∠ega，所以∠dba＋∠bad＝∠ega＋∠bad，从而∠bda＝∠pfa.
由于af⊥ep，所以∠pfa＝90°，于是∠bda＝90°，故ab是直径．
2)连接bc，dc.
由于ab是直径，故∠bda＝∠acb＝90°.
在rt△bda与rt△acb中，ab＝ba，ac＝bd，从而rt△bda≌rt△acb.
于是∠dab＝∠cba.
又因为∠dcb＝∠dab，所以∠dcb＝∠cba，故dc∥ab.
由于ab⊥ep，所以dc⊥ep，∠dce为直角．
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