课时强化作业六十三二项式定理(理)
基础强化。一、选择题。
1．若(1＋)4＝a＋b (a，b为有理数)，则a＋b＝(
a．36 b．46
c．34 d．44
解析：∵(1＋)4＝c＋c＋c ()2＋c ()3＋c ()4＝1＋4＋18＋12＋9＝28＋16，∴a＝28，b＝16，∴a＋b＝28＋16＝44.
答案：d2．在6的展开式中，常数项为( )
a． b．－
c．5 d．－5
解析：根据二项式定理可得6的第n＋1项展开式为c ()n6－n＝c6－nx－6，则当－6＝0，即n＝4时，则常数项为c6－4＝.
答案：a3．在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，含x4的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的( )
a．第11项 b．第13 项。
c．第18 项 d．第20 项。
解析：由题意得c＋c＋c＝55，又an＝－2＋3(n－1)＝3n－5，由an＝55，得n＝20.
答案：d4．c＋c＋…＋c＋…＋c的值为( )
a．2n b．22n－1
c．2n－1 d．22n－1－1
解析：设f(x)＝(1＋x)2n＝c＋cx＋cx2＋…＋cx2n.
令x＝1，则c＋c＋c＋…＋c＝22n，令x＝－1，则c－c＋c－…＋c＝0，c＋c＋c＋…＋c＝－1＝22n－1－1.
答案：d5．(2024年浙江卷)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝(
a．45 b．60
c．120 d．210
解析：由题意可得f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝c＋cc＋cc＋c＝20＋60＋36＋4＝120，故选c．
答案：c6．若n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于( )
a．4 b．5
c．6 d．7
解析：展开式中，令x＝1可得各项系数的和为(1＋3)n＝4n，又由二项式系数公式得各项二项式系数的和为2n，＝64，从而得2n＝64，所以n＝6.
答案：c二、填空题。
7．(1＋x)(1－)6展开式中x3项系数为___
解析：(1－)6展开式的通项为tk＋1＝c (－6－k＝(－1)6－kcx3－，令k＝2，得t3＝cx2＝15x2，令k＝0，得t1＝cx3＝x3，故x3项为1·x3＋x·15x2＝16x3，所以x3项系数为16.
答案：168．设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11
解析：由已知得a10·x10＝c·x10·(－1)11，a11·x11＝c·x11·(－1)10
a10＋a11＝－c＋c＝0.
答案：09．(2024年上海卷)设常数a∈r，若5的二项展开式中x7项的系数为－10，则a
解析：由tr＋1＝c (x2)5－rr＝arc·x10－3r，令10－3r＝7，得r＝1.
展开式中x7项的系数ca＝－10，∴a＝－2.
答案：－2三、解答题。
10．已知a、b为常数，b＞a＞0，且a，－，b成等比数列，(a＋bx)6展开式中所有项的系数之和为64，求a，b的值．
解：由题意得。
得。a的值为，b的值为。
能力提升。1．已知(x＋m)2n＋1和(mx＋1)2n(n∈n*，m≠0)的展开式中含xn项的系数相等，则实数m的值所在的区间是( )
a． b．c． d．
解析：由题意得cmn＋1＝cmn，m＝＝.
又m为关于n的减函数，∴当n＝1时，m取得最大值。
答案：c2．二项式(x－1)n(n∈n*)的奇数项二项式系数和为64，若(x－1)n＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋an(x＋1)n，则a1＝(
a．7 b．64
c．448 d．－896
解析：由题意2n－1＝64，则n＝7，由已知。
x－1)n＝[－2＋(x＋1)]7＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a7(x＋1)7，故a1＝c (－2)6＝448.
答案：c3．设a≠0，n是大于1的自然数， n的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若点ai(i，ai)(i＝0,1,2)的位置如图所示，则a＝(
a．3 b．4
c．5 d．2
解析：由图易知a0＝1，a1＝3，a2＝4，则a1＝c＝3，a2＝c2＝4，即解得a＝3.
答案：a4．二项式(1＋sinx)6的展开式中二项式系数最大的一项的值为，则x在[0,2π]内的值为___
解析：由题意得t4＝csin3x＝20sin3x＝，得sinx＝，又x∈[0,2π]，x＝或x＝π.
答案：或π5．若(x＋1)4(x＋4)8＝a0(x＋3)12＋a1(x＋3)11＋a2(x＋3)10＋…＋a11(x＋3)＋a12，则log2(a1＋a3＋a5＋…＋a11
解析：令x＝－2，则a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12＝28，令x＝－4则a0－a1＋a2－…－a11＋a12＝0，相减得2(a1＋a3＋a5＋…＋a11)＝28，所以a1＋a3＋a5＋…＋a11＝27，所以log2(a1＋a3＋a5＋…＋a11)＝log227＝7.
答案：76．求证：1＋2＋22＋…＋25n－1(n∈n*)能被31整除．
证明：∵1＋2＋22＋…＋25n－1＝
25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1
c×31n＋c×31n－1＋…＋c×31＋c－1
31(c×31n－1＋c×31n－2＋…＋c)，显然上式括号内为整数．
原式能被31整除．
7．已知n，1)若展开式中第五项、第六项、第七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；
2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项．
解：(1)由已知得2c＝c＋c，即n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14.
当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是第四项和第五项．第四项的系数等于c·4·23＝，第五项的系数等于c·3·24＝70.
当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是第8项，它的系数为c·7·27＝3 432.
2)由c＋c＋c＝79，得n2＋n－156＝0，解得n＝－13(舍去)或n＝12，设tr＋1项的系数最大，12＝12·(1＋4x)12，9.4≤r≤10.4，r＝10，所以展开式中系数最大的项是。
t11＝12·c·410·x10＝16 896x10.
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