课时强化作业

课时强化作业五十三直线与圆锥曲线的关系。

基础强化。一、选择题。

1．(2015届济南市模拟)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点在直线x－2y－2＝0上，则该抛物线的准线方程为( )

a．x＝－2 b．x＝4

c．x＝－8 d．y＝－4

解析：由x－2y－2＝0，令y＝0，得x＝2.∴y2＝2px的焦点坐标为(2,0)，∴其准线方程为x＝－2.

答案：a2．(2015届哈师大附中模拟)与椭圆c：＋＝1共焦点且过点(1，)的双曲线的标准方程为( )

a．x2－＝1 b．y2－2x2＝1

c.－＝1 d.－x2＝1

解析：∵＋1的焦点坐标为(0，±2)，∴所求的双曲线方程为－＝1，又(1，)在双曲线上，∴－1，得a2＝2或a2＝6(舍)，故所求的双曲线方程为－＝1.

答案：c3．已知f1、f2为椭圆＋＝1的两个焦点，过f1的直线交椭圆于a、b两点，若|f2a|＋|f2b|＝30，则|ab|＝(

a．16 b．18

c．22 d．20

解析：由题意知，a＝13，(|af1|＋|af2|)＋bf1|＋

bf2|)＝ab|＋|af2|＋|bf2|＝4a＝52，|bf2|＋|af2|＝30，∴|ab|＝22.

答案：c4．椭圆＋＝1的离心率为e，点(1，e)是圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是( )

a．3x＋2y－4＝0 b．4x＋6y－7＝0

c．3x－2y－2＝0 d．4x－6y－1＝0

解析：依题意得e＝，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点的连线的斜率为＝，则所求直线的斜率等于－，所以所求直线方程是y－＝－x－1)，即4x＋6y－7＝0，选b.

答案：b5．已知点f1(－1,0)，f2(1,0)，动点a到f1的距离是2，线段af2的垂直平分线交af1于点p，则p点的轨迹方程是( )

a.＋＝1 b.＋＝1

c.＋＝1 d.＋＝1

解析：由垂直平分线的性质可知|pa|＝|pf2|，又|f1a|＝2，|pf1|＋|pf2|＝2，∴点p的轨迹是椭圆，其方程为＋＝1.

答案：c6．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点m(1，m)(m＞0)到其焦点的距离为5，双曲线－y2＝1的左顶点为a，若双曲线的一条渐近线与直线am平行，则实数a的值是( )

a. b.

c. d.

解析：∵m(1，m)到焦点距离为5，∴m到准线距离为5，又xm＝1，∴＝4，∴p＝8，∴y2＝16x，当x＝1时，y＝±4，∵m＞0，∴m＝4，即m(1,4)，双曲线左顶点a(－，0)，∴kma＝，又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，由题意知＝，∴a＝.

答案：b二、填空题。

7．(2015届广东省梅州市高三月考)已知双曲线c的焦点、实轴端点恰好是椭圆＋＝1的长轴的端点、焦点，则双曲线c的方程为___

解析：椭圆＋＝1的焦点在x轴上，且长轴端点坐标为(±5,0)，焦点为(±3,0)，所以双曲线c的焦点、实轴端点分别为(±5,0)，(3,0)，所以双曲线的方程为－＝1，故填－＝1.

答案：－＝1

8．动直线l的倾斜角为60°，若直线l与抛物线x2＝2py(p＞0)交于a、b两点，且a、b两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为___

解析：设直线l的方程为y＝x＋b，联立消去y，得x2＝2p(x＋b)，即x2－2px－2pb＝0，x1＋x2＝2p＝3，p＝，抛物线的方程为x2＝y.

答案：x2＝y

9．已知抛物线c的顶点在坐标原点，焦点为f(0，－1)，直线l与抛物线c相交于a、b两点，若ab的中点为(2，－2)，则直线l的方程为___

解析：由题意知，抛物线的方程为x2＝－4y，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，且x1≠x2，联立方程得两式相减得x－x＝－4(y1－y2)，＝1，直线l的方程为y＋2＝－(x－2)，即y＝－x.

答案：x＋y＝0

三、解答题。

10．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，点p在椭圆上．

1)求椭圆的离心率；

2)设a为椭圆的左顶点，o为坐标原点．若点q在椭圆上且满足|aq|＝|ao|，求直线oq的斜率的值．

解：(1)∵p在椭圆上，＋＝1，得＝，＝e2 ＝，e＝.

2)设直线oq的斜率为k，则其方程为y＝kx，设q(x0，y0)，由题意得得x＝.

由|aq|＝|ao|，a(－a,0)及y0＝kx0，得(x0＋a)2＋k2x＝a2，即(1＋k2)x＋2ax0＝0，又x0≠0，x0＝－，1＋k2)2＝4k2＋4.

由(1)知＝，(1＋k2)2＝k2＋4，得k2＝5，k＝±.

直线oq的斜率为±.

能力提升。1．过点m(－2,0)的直线m与椭圆＋y2＝1交于p1、p2两点，线段p1p2的中点为p，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线op的斜率为k2，则k1k2的值为( )

a．2 b．－2

c. d．－

解析：如图，设p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，则p1p2的中点p，则k2＝kop＝，又因为p1、p2在椭圆＋y2＝1上，所以有＋y＝1，＋y＝1，两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＝－y1＋y2)(y1－y2)，即＝－·则k1＝－，即有k1·k2＝－，故选d.

答案：d2．(2014届云南昆明一中高三模拟)设点m(m,0)在椭圆＋＝1的长轴上，点p是椭圆上任意一点，当||最小时，点p恰好落在椭圆的右顶点，则实数m的取值范围是( )

a．(－1]

b．[4，＋∞

c．[1,4]

d．(－4,4)

解析：设p(x，y)，m(m,0)，∴x－m，y)，|2＝(x－m)2＋y2＝(x－m)2＋12＝x2－2mx＋m2＋12＝(x－4m)2＋12－3m2.

又当||最小时，点p恰好落在椭圆的右顶点，即x＝4时||最小，又x∈[－4,4]，4m≥4，即m≥1，又m在椭圆的长轴上，－4≤m≤4，综上得1≤m≤4.

答案：c3．(2015届山东省烟台市高三考试)双曲线c1的中心在原点，焦点在x轴上，若c1的一个焦点与抛物线c2：y2＝12x的焦点重合，且抛物线c2的准线交双曲线c1所得的弦长为4，则双曲线c1的实轴长为( )

a．6 b．2

c. d．2

解析：设双曲线c1的方程为－＝1(a>0，b>0)．

由已知，抛物线c2的焦点为(3,0)，准线方程为x＝－3，即双曲线中c＝3，a2＋b2＝9；将－3代入双曲线方程，解得y＝±，又抛物线c2的准线交双曲线c1所得的弦长为4，所以2×＝4与a2＋b2＝9联立得，a2＋2a－9＝0，解得，a＝，故双曲线c1的实轴长为2，选d.

答案：d4．已知椭圆＋y2＝1，设过定点m(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点a、b，且∠aob为锐角(其中o为坐标原点)，则直线l的斜率k的取值范围是___

解析：显然直线l的斜率存在，设l的方程为y＝kx＋2，由得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，设方程的两根为x1、x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝.

由题意得δ＝(16k)2－4(1＋4k2)·12＞0，得k2＞，又∠aob为锐角，·＝x1x2＋y1y2

x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)

(1＋k2)·＋2k·＋4＝＞0，∴k2＜4.

＜k2＜4，∴－2＜k＜－或＜k＜2.

答案：∪5．(2015届陕西西安高三调研)定义：曲线c上的点到直线l的距离的最小值称为曲线c到直线l的距离．已知曲线c1：

y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线c2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：

y＝x的距离，则实数a

解析：曲线c2到l的距离d等于圆心到直线的距离减去半径，即d＝－＝所以曲线c1到l的距离为。

而c1到l的距离为与l平行的直线l′与c1相切时两直线间的距离．设l′：x－y＋m＝0，则＝，得m＝±2.

当m＝－2时，要使l′与c1相切，则曲线c1与直线l：y＝x相交，不符合题意，舍去．

当m＝2时，由消去y，得。

x2－x＋a－2＝0，此时，δ＝1－4(a－2)＝9－4a＝0，a＝，经检验a＝符合题意，故a＝.

答案：6．设f1、f2分别为椭圆c：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过f2的直线l与椭圆c相交于a、b两点，直线l的倾斜角为60°，f1到直线l的距离为2.

1)求椭圆c的焦距；

2)如果＝2，求椭圆c的方程．

解：(1)设焦距为2c，由已知可得f1，到直线l的距离c＝2，故c＝2.

所以椭圆c的焦距为4.

2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由题意知y1＜0，y2＞0，直线l的方程为y＝(x－2)．

联立得(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b4＝0.

解得y1＝，y2＝.

因为＝2，所以－y1＝2y2.

即＝2·，得a＝3.而a2－b2＝4，所以b＝.

故椭圆c的方程为＋＝1.

7．已知抛物线c的顶点为o(0,0)，焦点为f(0,1)．

1)求抛物线c的方程；

2)过点f作直线交抛物线c于a、b两点．若直线ao，bo分别交直线l：y＝x－2于m、n两点，求|mn|的最小值．

解：(1)由题意可设抛物线c的方程为x2＝2py(p＞0)，则＝1，所以抛物线 c的方程为x2＝4y.

2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，直线ab的方程为y＝kx＋1.

由消去y，整理得x2－4kx－4＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.

从而|x1－x2|＝4.

由。解得点m的横坐标xm＝＝＝

同理点n的横坐标xn＝.

所以|mn|＝|xm－xn|

令4k－3＝t，t≠0，则k＝.

当t＞0时，|mn|＝2＞2.

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