课时强化作业

课时强化作业五十二抛物线。

基础强化。一、选择题。

1．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为( )

a．－2 b．2

c．－4 d．4

解析：因为椭圆＋＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y2＝2px的焦点为(2,0)，则p＝4，故选d.

答案：d2．(2015届唐山一中高三月考)已知点a(2,0)，点b是直线x＝－1上的动点，若＝2，过点b垂直于y轴的直线与过m垂直于ab的直线交于点p，则点p的轨迹是( )

a．圆 b．椭圆。

c．双曲线的一部分 d．抛物线。

解析：设点p(x，y)，则b(－1，y)，m.由pm⊥ab得，×＝1，化简得点p的轨迹方程为y2＝9x.故选d.

答案：d3．已知双曲线c1：－＝1(a＞0，b＞0) 的离心率为2.若抛物线c2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线c1的渐近线的距离为2，则抛物线c2的方程为( )

a．x2＝y b．x2＝y

c．x2＝8y d．x2＝16y

解析：∵－1的离心率为2，＝2，即＝＝4，∴＝

x2＝2py的焦点坐标为，－＝1的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.

由题意得＝2，∴p＝8.

故c2：x2＝16y，选d.

答案：d4．(2014届郑州模拟)已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( )

a.或 b.或。

c.或 d.

解析：由焦点弦长公式|ab|＝得＝12，又0≤θ＜sinθ＝，或。

答案：b5．(2024年辽宁卷)已知点a(－2,3)在抛物线c：y2＝2px的准线上，记c的焦点为f，则直线af的斜率为( )

a．－ b．－1

c．－ d．－

解析：∵点a(－2,3)在y2＝2px的准线上，∴－2，∴p＝4，∴y2＝2px的焦点为f(2,0)，∴kaf＝＝－

答案：c6．抛物线y2＝4x的焦点为f，点p(x，y)为该抛物线上的动点，又点a(－1,0)，则的最小值是( )

a. b.

c. d.

解析：依题意可得过点a作x轴的垂线ab，过点p作直线ab的垂线，垂足为b.由于pf＝pb，所以＝.

所以的最小值即等价于∠pab的最小值，等价于直线ap与抛物线相切时的值．假设直线ap：y＝k(x＋1)，联立y2＝4x可解得p(1,2)，所以|pb|＝2，|pa|＝2.所以＝.

故选b.

答案：b二、填空题。

7．动点p到点f(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则点p的轨迹方程为___

答案：y2＝8x

8．在平面直角坐标系xoy中，设抛物线y2＝4x的焦点为f，准线为l，p为抛物线上一点，pa⊥l，a为垂足，若直线af的倾斜角为120°，则|pf

解析：∵直线af的倾斜角为120°，∠afo＝60°，∴apf为等边三角形．

|pf|＝|af|＝＝4.

答案：49．已知a(2,0)，抛物线c：x2＝4y的焦点为f，射线fa与抛物线c相交于点m，与其准线相交于点n，则|fm|∶|mn

解析：mf的方程为＋y＝1即x＋2y－2＝0，mf的倾斜角为α，则tanα＝－由抛物线的定义可知|mf|＝|mq|；

＝＝sinα＝＝

答案：1∶三、解答题。

10．如图，直线l：y＝x＋b与抛物线c：x2＝4y相切于点a.

1)求实数b的值；

2)求以点a为圆心，且与抛物线c的准线相切的圆的方程．

解：(1)由消去y得，x2－4x－4b＝0，(*

直线l与抛物线相切，δ＝4)2－4×(－4b)＝0，b＝－1.

2)由(1)知b＝－1，方程(*)为x2－4x＋4＝0，解得x＝2，代入x2＝4y中得，y＝1，∴a(2,1)．

圆a与抛物线准线y＝－1相切，r＝|1－(－1)|＝2.

所以圆a的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.

能力提升。1．在平面直角坐标系xoy中，抛物线c：y2＝2px(p＞0)的焦点为f，m是抛物线c上的点，若△ofm的外接圆与抛物线c的准线相切，且该圆面积为9π，则p＝(

a．2 b．4

c．6 d．8

解析：∵△ofm的外接圆与准线相切，∴△ofm的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．∵s圆＝9π，圆的半径r＝3，∴＋3，p＝4.

答案：b2．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点f的直线l与抛物线在第一象限的交点为a，直线l与抛物线的准线的交点为b，点a在抛物线的准线上的射影为 c, 若＝，·36，则抛物线的方程为( )

a．y2＝6x b．y2＝3x

c．y2＝12x d．y2＝2x

解析：设准线与x轴的交点为m，由＝知f为线段ab的中点，∴|ac|＝2|mf|＝2p.

由抛物线定义知|af|＝|ac|，|af|＝2p，故|ab|＝4p，在rt△bca中，bc|＝2p，且cos∠abc＝＝，cos∠abc＝4p·2p·＝36，p2＝3，∴p＝，∴抛物线的方程为y2＝2x，故选d.

答案：d3．(2015届台州模拟)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为f，f关于原点的对称点为p，过f作x轴的垂线交抛物线于m、n两点，有下列四个命题：

△pmn必为直角三角形；②△pmn不一定为直角三角形；③直线pm必与抛物线相切；④直线pm不一定与抛物线相切．其中正确的命题是( )

a．①③b．①④

c．②③d．②④

解析：因为pf＝mf＝nf，故∠fpm＝∠fmp，∠fpn＝∠fnp，从而可知∠mpn＝90°，故①正确，②错误；令直线pm的方程为y＝x＋，代入抛物线方程可得y2－2py＋p2＝0，δ＝0，所以直线pm与抛物线相切，故③正确，④错误．

答案：a4．(2024年湖南卷)平面上以机器人在行进中始终保持与点f(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点p(－1,0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是___

解析：根据抛物线定义求出机器人的运动轨迹，将问题转化为直线与抛物线的位置关系求解．

由题意知机器人行进轨迹为以f(1,0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线，其方程为y2＝4x.设过点(－1,0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)．代入y2＝4x，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0.∵机器人接触不到该直线，∴δ2k2－4)2－4k2<0，∴k2>1，∴k>1或k<－1.

答案：(－1)∪(1，＋∞

5．(2015届南京模拟)已知抛物线x2＝4y的焦点为f，准线与y轴的交点为m，n为抛物线上的一点，且|nf|＝|mn|，则∠nmf

解析：过n作准线的垂线，垂足为h，则|nf|＝|nh|＝|mn|，cos∠mnh＝，∠mnh＝，∴nmf＝.

答案：6．(1)抛物线x2＝2py(p＞0)上一点m到焦点的距离为1，若点m的纵坐标为，求抛物线方程；

2)已知直线x－y＝0与抛物线y2＝2px交于a、b两点，若点p(2,2)为ab中点，求抛物线方程．

解：(1)由抛物线的定义，可知点m到准线的距离为1，＋＝1，∴p＝，抛物线的方程为x2＝y.

2)∵直线x－y＝0与抛物线y2＝2px都经过原点，a(0,0)．

p(2,2)是ab中点，直线x－y＝0与抛物线y2＝2px的另一交点为(4,4)，42＝2p·4，∴p＝2.

抛物线方程为y2＝4x.

7．已知过点a(－4,0)的动直线l与抛物线g：x2＝2py(p＞0)相交于b、c两点．当直线l的斜率是时，＝4.

1)求抛物线g的方程；

2)设线段bc的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．

解：(1)设b(x1，y1)，c(x2，y2)，当直线l的斜率是时，l的方程为y＝(x＋4)，即x＝2y－4，联立得2y2－(8＋p)y＋8＝0，y1＋y2＝，y1y2＝4，由已知＝4，∴y2＝4y1，由韦达定理及p＞0可得y1＝1，y2＝4，p＝2，∴抛物线g的方程为x2＝4y.

2)由题意知直线l的斜率存在，且不为0，设l：y＝k(x＋4)，bc中点坐标为(x0，y0)，由得x2－4kx－16k＝0，由δ＞0得k＜－4或k＞0，x0＝＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k，bc中垂线方程为y－2k2－4k＝－(x－2k)，b＝2(k＋1)2，∴b＞2.

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