课时强化作业

课时强化作业七十一坐标系。

基础强化。一、选择题。

1．在平面直角坐标系中，经伸缩变换后曲线方程x2＋y2＝4变换为椭圆方程x′2＋＝1，此伸缩变换公式是( )

ab. cd.

解析：设伸缩变换为代入x′2＋＝1，得λ2x2＋＝1，即：4λ2x2＋μ2y2＝4.由题意得得∴变换为。

答案：b2．在极坐标系中，o为极点，设点a，b，则△oab的面积为( )

a. b．5

c. d．5

解析：点b即b，且点a，∠aob＝－＝所以△oab的面积为s＝·|oa|·|ob|·sin∠aob＝×4×5×sin＝×4×5×＝5.

答案：b3．(2015届北京海淀高三月考)在极坐标系中，已知点p，则过点p且平行于极轴的直线的方程是( )

a．ρsinθ＝1 b．ρsinθ＝

c．ρcosθ＝1 d．ρcosθ＝

解析：点p的直角坐标为(，1)，∵所求直线平行于极轴，∴所求直线的斜率k＝0.所求直线的普通方程为y＝1，化为极坐标方程为ρsinθ＝1，故选a.

答案：a4．在极坐标系下，直线ρcos＝与曲线ρ＝的公共点的个数为( )

a．0 b．1

c．2 d．0或2

解析：ρcos＝化为直角坐标方程为x＋y＝2，ρ＝化为直角坐标方程为x2＋y2＝2，显然直线与圆相切．

答案：b5．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆心为c，点p为圆上一点，q的极坐标为，则|pq|的最小值为( )

a．2－4 b．4－2

c．2＋2 d．2－2

解析：由ρ＝4cosθ，得(x－2)2＋y2＝4，q化为直角坐标为(2,2)，又|cq|＝＝2，∴|pq|min＝|cq|－r＝2－2.

答案：d6．在极坐标系中，直线ρsin＝与圆ρ＝2cosθ的位置关系是( )

a．相交 b．相切。

c．相离 d．以上均不正确。

解析：ρsin＝可化为x－y＋1＝0，ρ＝2cosθ可化为(x－1)2＋y2＝1.

圆心(1,0)到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝＞1，∴直线与圆相离．

答案：c二、填空题。

7．在极坐标系中，点(1,0)到直线ρ(cosθ＋sinθ)＝2的距离为。

解析：直线ρ(cosθ＋sinθ)＝2的直角坐标方程为x＋y－2＝0，极坐标(1,0)的直角坐标为(1,0)，点(1,0)到该直线的距离为d＝＝.

答案：8．极坐标系中，点a在曲线ρ＝2sinθ上，点b在曲线ρcosθ＝－2上，则|ab|的最小值为。

解析：ρ＝2sinθ ρ2＝2ρsinθ

x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－1)2＝1；

ρcosθ＝－2，∴x＝－2，易知圆心(0,1)到直线x＝－2的距离为2，圆半径为1，故|ab|min＝1.

答案：19．(2024年广东卷)在极坐标系中，曲线c1和c2的方程分别为ρsin2 θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线c1和c2交点的直角坐标为___

解析：把极坐标方程化为直角坐标方程，再求两曲线的交点坐标．

因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρsin2θ＝cosθ，得ρ2sin2θ＝ρcosθ，所以曲线c1的普通方程为y2＝x.由ρsinθ＝1，得曲线c2的普通方程为y＝1.由得故曲线c1与曲线c2交点的直角坐标为(1,1)．

答案：(1,1)

三、解答题。

10．(2015届江苏苏州一模)在极坐标系中，圆c的方程为ρ＝2sin，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)，判断直线l和圆c的位置关系．

解：消去参数t，得直线l的直角坐标方程为y＝2x＋1；

对于c，ρ＝2sin，即ρ＝2(sinθ＋cosθ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsinθ＋ρcosθ)，得圆c的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，圆心c到直线l的距离d＝＝＜所以直线l和圆c相交．

能力提升。1．(2013 年安徽卷)在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )

a．θ＝0(ρ∈r)和ρcosθ＝2

b．θ＝r)和ρcosθ＝2

c．θ＝r)和ρcosθ＝1

d．θ＝0(ρ∈r)和ρcosθ＝1

解析：在极坐标系中，圆心坐标ρ＝1，θ＝0，半径r＝1.故左切线为θ＝，右切线满足cosθ＝ρcosθ＝2.即切线方程为：θ＝r)和ρcosθ＝2.

答案：b2．(2024年安徽卷)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆c的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆c截得的弦长为( )

a. b．2

c. d．2

解析：可化为x－y－4＝0，ρ＝4cosθ可化为x2＋y2－4x＝0即(x－2)2＋y2＝4，圆心(2,0)到x－y－4＝0的距离d＝＝，弦长为2＝2＝2.

答案：d3．(2024年江西卷)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )

a．ρ＝0≤θ≤

b．ρ＝0≤θ≤

c．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤

d．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤

解析：将极坐标方程转化为直角坐标方程即可．

a中，由ρ＝，得ρcosθ＋ρsinθ＝1，x＋y＝1，∴y＝1－x(0≤x≤1)．

b中，由ρ＝，得y＝1－x.

c中，由ρ＝cosθ＋sinθ，得ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，即x2＋y2＝x＋y(0≤x≤1)．

d中，由ρ＝cosθ＋sinθ，得x2＋y2＝x＋y.

答案：a4．(2024年江西卷)设曲线c的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线c的极坐标方程为。

解析：由得y＝x2，把y＝ρsinθ，x＝ρcosθ代入y＝x2，得ρ2cos2θ＝ρsinθ，得ρcos2θ－sinθ＝0.

答案：ρcos2θ－sinθ＝0

5．(2024年广东卷)已知曲线c的参数方程为(t为参数)，c在点(1,1)处的切线为l.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为。

解析：由曲线c的参数方程(t为参数)，可知曲线c的普通方程为x2＋y2＝2，表示圆心为(0,0)，半径为的圆，所以点(1,1)在圆上．由切线的性质可知切线l的斜率为－1，故切线l的方程为x＋y－2＝0，由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可得切线l的极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝2.

答案：ρcosθ＋ρsinθ＝2

6．(2024年高考新课标ⅰ卷)已知曲线c1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.

1)把c1的参数方程化为极坐标方程；

2)求c1与c2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．

解：(1)将消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即c1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0，将，代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得，2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0，c1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.

2)c2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.

由解得或。c1与c2的交点的极坐标分别为，.

7．(2024年辽宁卷)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线c.

1)写出c的参数方程；

2)设直线l：2x＋y－2＝0与c的交点为p1，p2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段p1p2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．

解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线c上的点(x，y)，依题意，得。

由x＋y＝1得x2＋2＝1，即曲线c的方程为x2＋＝1.

故c的参数方程为(t为参数)．

2)由解得或。

不妨设p1(1,0)，p2(0,2)，则线段p1p2的中点坐标为，所求直线斜率为k＝，于是所求直线方程为y－1＝，化为极坐标方程，并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，即ρ＝.

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