课时强化作业

课时强化作业六十八离散型随机变量的均值与方差、正态分布(理)

基础强化。一、选择题。

1．(2015届白山高三月考)已知随机变量x＋η＝8，若x～b(10,0.6)，则e(η)d(η)分别是( )

a．6和2.4 b．2和2.4

c．2和5.6 d．6和5.6

解析：∵x～b(10,0.6)，∴e(x)＝10×0.

6＝6，d(x)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.

4，e(η)8－e(x)＝2，d(η)1)2d(x)＝2.4.

答案：b2．设一随机试验的结果只有a和，且p(a)＝p，令随机变量x＝则x的方差d(x)等于( )

a．p b．2p(1－p)

c．－p(1－p) d．p(1－p)

解析：x服从两点分布，故d(x)＝p(1－p)．

答案：d3．已知随机变量ξ～b，则当p(ξ＝k)取得最大值时，k的值为( )

a．49 b．50

c．49或50 d．50或51

解析：p(ξ＝k)＝c·k100－k

c·100，由组合数的性质可知，当k＝50时取得最大值．

答案：b4．设随机变量x～n(1,52)，且p(x≤0)＝p(x≥a－2)，则实数a的值为( )

a．4 b．6

c．8 d．10

解析：∵x～n(1,52)，p(x≤0)＝p(x≥a－2)，＝1，∴a＝4.

答案：a5．已知离散型随机变量x的分布列如下。

则x的数学期望e(x)＝(

a． b．c．2a＋ d．

解析：由＋a＋＝1，得a＝.∴e(x)＝1×＋2×＋3×＝.

答案：d6．已知随机变量x服从正态分布n(3,1)，且p(2≤x≤4)＝0.682 6，则p(x＞4)＝(

a．0.158 8 b．0.158 7

c．0.158 6 d．0.158 5

解析：由正态分布的性质可知，p(x＞4)＝＝0.158 7.

答案：b二、填空题。

7．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：

已知ξ的期望e(ξ)8.9，则y

解析：由题意得。

得。答案：0.4

8．随机变量x的分布列为。

且e(x)＝1.1，则d(x

解析：由分布列的性质得＋n＋＝1，所以n＝.又e(x)＝0×＋1×＋m×＝1.

1，解得m＝2.所以d(x)＝(0－1.1)2×＋(1－1.

1)2×＋(2－1.1)2×＝0.49.

答案：0.49

9．若随机变量x～n(μ，2)，则p(x

解析：由正态分布图象可知对称轴为x＝μ，p(x≤μ)

答案：三、解答题。

10．甲乙两人独立解出某一道数学题的概率依次为p1，p2(p1＞p2)，已知该题被甲或乙解出的概率为0.8，甲乙两人同时解出该题的概率为0.3，求：

1)p1，p2；

2)解出该题的人数x的分布列及e(x)．

解：(1)设甲乙两人解出该数学题分别为事件a和b，则p(a)＝p1，p(b)＝p2，所以。

即。解之得p1＝0.6，p2＝0.5.

2)p(x＝0)＝0.4×0.5＝0.

2，p(x＝1)＝0.6×0.5＋0.

4×0.5＝0.5，p(x＝2)＝0.

6×0.5＝0.3.

x的分布列：

所以e(x)＝0×0.2＋0.5×1＋0.3×2＝1.1.

能力提升。1．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c∈，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝“a－b|的取值”，则ξ的数学期望e(ξ)为( )

a． b．c． d．

解析：∵对称轴在y轴左侧，－<0，∴ab>0，即a与b同号，满足条件的抛物线有2ccc＝126条．

的取值为，p(ξ＝0)＝＝p(ξ＝1)＝＝p(ξ＝2)＝＝

e(ξ)0＋×1＋×2＝.

答案：a2．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，射击停止后尚余子弹的数目x的期望值为( )

a．2.44 b．3.376

c．2.376 d．2.4

解析：x的取值为，p(x＝3)＝0.6；

p(x＝2)＝0.4×0.6＝0.24；

p(x＝1)＝0.42×0.6＝0.096；

p(x＝0)＝0.43×0.6＋0.44＝0.064.

e(x)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.

答案：c3．(2015届福州质检)已知随机变量x服从正态分布n(μ，2)，且p(μ－2σa．0.135 8 b．0.135 9

c．0.271 6 d．0.271 8

解析：由题意知，p(5答案：b

4．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸张出示给a组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和x(单位：

分)的数学期望为___

解析：依题意得，得分之和x的可能取值分别是0,1,2，且p(x＝0)＝(1－0.4)(1－0.

5)＝0.3，p(x＝1)＝0.4×(1－0.

5)＋(1－0.4)×0.5＝0.

5，p(x＝2)＝0.4×0.5＝0.

2，因此，这两个同学各猜1次，得分之和x(单位：分)的数学期望为0×0.3＋1×0.

5＋2×0.2＝0.9.

答案：0.9

5．如果随机变量ξ～b(n，p)，且e(ξ)4，且d(ξ)2，则e[pξ－d

解析：∵ξb(n，p)，且e(ξ)4，∴np＝4，又∵d(ξ)2，∴np(1－p)＝2，∴p＝，e[pξ－d(ξ)e＝e(ξ)2＝0.

答案：06．(2015届滨州模拟)在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地随机抽取两张卡片，记第一次抽取的卡片的标号为x，第二次抽取的卡片的标号为y，设o为坐标原点，点p的坐标为(x－2，x－y)，记ξ＝|2.

1)求随机变量ξ的最大值，并求“ξ取最大值”的概率；

2)求随机变量ξ的分布列．

解：(1)因为x，y可能的取值为1,2,3，所以|x－2|≤1，|x－y|≤2，所以ξ＝(x－2)2＋(x－y)2≤5.

且当x＝1，y＝3或x＝3，y＝1时，ξ＝5，因此，随机变量ξ的最大值为5.

又因为有放回地随机抽取两张卡片共有3×3＝9种情况，所以p(ξ＝5)＝.

2)ξ的所有可能取值为0,1,2,5.

因为ξ＝0时，x＝2，y＝2，＝1时，x＝1，y＝1；x＝2，y＝1；x＝2，y＝3；x＝3，y＝3.

＝2时，x＝1，y＝2；x＝3，y＝2.

所以p(ξ＝0)＝，p(ξ＝1)＝，p(ξ＝2)＝，则随机变量ξ的分布列为。

7.某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布n(168,16)．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160 cm和184 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：

第1组[160,164)，第2组[164,168)，…第6组[180,184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

1)试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况；

2)求这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人数；

3)在这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人中任意抽取2人，将该2人中身高排名(从高到低)在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．

参考数据：若ξ～n(μ，2)，则。

p(μ－0.682 6，p(μ－2σ<ξ2σ)＝0.954 4，p(μ－3σ<ξ3σ)＝0.997 4.

解：(1)由频率分布直方图，经过计算该校高三年级男生平均身高为。

4＝168.72，平均值为168.72，高于全市平均值168.

2)由频率分布直方图知，后3组频率为(0.02＋0.02＋0.

01)×4＝0.2，人数为0.2×50＝10，即这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人数为10.

3)∵p(168－3×4<ξ≤168＋3×4)＝0.997 4，p(ξ≥180)＝＝0.001 3,0.001 3×100 000＝130.

全市前130名的身高在180 cm以上，这50人中180 cm以上的有2人．

随机变量ξ可取0,1,2，于是。

p(ξ＝0)＝＝p(ξ＝1)＝＝p(ξ＝2)＝＝e(ξ)0×＋1×＋2×＝.

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