课时强化作业

课时强化作业六十古典概型与几何概型(文)

基础强化。一、选择题。

1．袋中装有完全相同的5个小球，其中有红色小球3个，黄色小球2个，如果不放回地依次摸出2个小球，若第一次摸出红球，则第二次摸出红球的概率是( )

a． b．c． d．

答案：c2．一枚硬币连掷两次，只有一次出现正面的概率为( )

a． b．c． d．

解析：一枚硬币连掷两次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，其中只有一次出现正面的概率为p＝＝.

答案：d3．(2024年重庆卷)下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的概率为( )

a．0.2 b．0.4

c．0.5 d．0.6

解析：由茎叶图可知数据落在区间[22,30)的频数为4，其概率p＝＝0.4.

答案：b4．(2015届石景山模拟)将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量p＝(m，n)，q＝(3,6)，则向量p与 q共线的概率为( )

a． b．c． d．

解析：由p与q共线知n＝2m，又将一颗骰子掷两次共有36种不同的情形，其中满足n＝2m的情形有(1,2)，(2,4)，(3,6)，其概率p＝＝.

答案：d5．函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么任取一点，x0∈[－5,5]，则使f(x0)≤0的概率为( )

a．1 b．

c． d．解析：由f(x0)≤0，得－1≤x0≤2，其概率p＝.

答案：c6．如图所示，墙上挂有一边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是( )

a．1－ b．

c．1－ d．与a的取值有关。

解析：∵s阴影＝a2－π×2，击中阴影部分的概率p＝＝＝1－.

答案：a二、填空题。

7．(2024年全国卷ⅰ)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为___

解析：记2本数学书分别记为1,2,1本语文书记为3，将其排成一行，共有如下6种不同的情形(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)．其中2本数学书相邻的有(1,2,3)，(2,1,3)，(3,1,2)，(3,2,1)共4种不同的情形，∴其概率p＝＝.

答案：8．从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为的概率是___

解析：设正方形abcd的中心为o，从a、b、c、d、o五点中，随机取两点，所有可能结果为ab，ac，ad，ao，bc，bd，bo，cd，co，do，共10种，其中距离为的结果有ao，bo，co，do共4种，故所求概率为＝.

答案：9．在棱长为1的正方体abcd－a1b1c1d1内等可能地任取一点p，则该点到顶点a的距离小于1的概率是___

解析：正方体的体积为1，与点a距离等于1的点的轨迹是以1为半径，a为球心的八分之一个球，其体积为v1＝×＝即事件“点p到顶点a的距离小于1的概率”对应的区域体积为，则点p到顶点a的距离小于1的概率为。

答案：三、解答题。

10．某种产品按质量标准分成五个等级，等级编号依次为1,2,3,4,5.现从一批产品中随机抽取20件，对其等级编号进行统计分析，得到频率分布表如下：

1)若所抽取的20件产品中，等级编号为4的恰有3件，等级编号为5的恰有2件，求a，b，c的值；

2)在(1)的条件下，将等级编号为4的3件产品记为x1，x2，x3，等级编号为5的2件产品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件产品中任取两件(假定每件产品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件产品的等级编号恰好相同的概率．

解：(1)由频率分布表得a＋0.2＋0.

45＋b＋c＝1，即a＋b＋c＝0.35.因为抽取的20件产品中，等级编号为4的恰有3件，所以b＝＝0.

15，等级编号为5的恰有2件，所以c＝＝0.1，从而a＝0.35－b－c＝0.

1.所以a＝0.1，b＝0.

15，c＝0.1.

2)从产品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，所有可能的结果为：

x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)共10种，设事件a表示“从产品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，其等级编号相同”，则a包含的基本事件为：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)共4种，故所求的概率p(a)＝＝0.4.

能力提升。1．一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球编号为n，则n＜m＋2的概率为( )

a． b．c． d．

解析：一切可能的结果共有16种，其中满足n≥m＋2的事件有(1,3)，(1,4)，(2,4)共3个，∴满足n≥m＋2的事件的概率p1＝，∴满足n＜m＋2的事件的概率p＝1－p1＝.

答案：b2．(2024年课标ⅰ卷)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )

a． b．c． d．

解析：从1,2,3,4中任取2个不同的数，共有的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共有6种不同的情形，其中2个数之差的绝对值为2的情形有(1,3)，(2,4)共两种不同的情形，其概率p＝＝.

答案：b3．已知区域ω＝，m＝，向区域ω内随机投一点p，点p落在区域m内的概率为( )

a． b．c． d．

解析：区域ω表示的区域为如图所示的三角形△abc，区域m表示的图中的阴影部分，向区域ω内随机投一点p，则点p在区域m内的概率为p＝＝＝

答案：a4．(2024年广东卷)从字母a，b，c，d，e中任取两个不同的字母，则取到字母a的概率为___

解析：从a，b，c，d，e中任取两个，共有如下10种不同的情形：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，其中取到a的有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，共有4种不同的情形，其概率p＝＝.

答案：5．在区间[－π内随机取两个数分别为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点的概率为___

解析：由题意得a、b满足的条件为其满足的区域如图所示，又f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点，∴δ4a2－4(π2－b2)≥0，a2＋b2≥π2，其中满足a2＋b2≥π2的区域如图所示，其概率p＝＝＝1－.

答案：1－6．(2024年天津卷)某校夏令营有3名男同学a、b、c和3名女同学x、y、z，其年级情况如下表：

现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)．

1)用表中字母列举出所有可能的结果；

2)设m为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件m发生的概率．

解：(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为，，，共15种．

2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为，，，共6种．

因此，事件m发生的概率p(m )＝

7．已知向量a＝(2,1)，b＝(x，y)．

1)若x∈，y∈，求向量a∥b的概率；

2)若x∈[－1,2]，y∈[－1,1]，求向量a，b的夹角是钝角的概率．

解：(1)设“a∥b”为事件a，由a∥b，得x＝2y.基本事件有：

(－1，－1)，(1,0)，(1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)．共包含12个基本事件；

其中a＝，包含2个基本事件．

故p(a)＝＝

2)设“a，b的夹角是钝角”为事件b，由a，b的夹角是钝角，可得a·b＜0，即2x＋y＜0，且x≠2y.

b＝作出可行域，可得p(b)＝＝

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