课时强化作业

课时强化作业五十四曲线与方程(理)

基础强化。一、选择题。

1．已知a(1,0)，b(－1,0)，动点m满足|ma|－|mb|＝2.则点m的轨迹方程为( )

a．y＝0(－1≤x≤1)

b．y＝0(x≥1)

c．y＝0(x≤－1)

d．y＝0(|x|≥1)

解析：∵|ma|－|mb|＝2＝|ab|，∴点m的轨迹为以b为端点的射线．

答案：c2．方程(x2＋y2－4)＝0的曲线形状是( )

解析：由题意可得或x＋y＋1＝0.它表示直线x＋y＋1＝0和圆x2＋y2－4＝0在直线x＋y＋1＝0右上方的部分．

答案：c3．若直线x－2y－2k＝0与y＝x＋k的交点在曲线x2＋y2＝25上，则k的值为( )

a．1 b．－1

c．±1 d．以上都不对。

解析：由得。

(－4k)2＋(－3k)2＝25，得k＝±1.

答案：c4．已知两点m(－2,0)，n(2,0)，点p为坐标平面内的动点，满足||·0，则动点p(x，y)的轨迹方程为( )

a．y2＝8x b．y2＝－8x

c．y2＝4x d．y2＝－4x

解析：||4，||4(x－2)，4＋4(x－2)＝0，∴y2＝－8x.

答案：b5．一条线段ab的长为2，两个端点a和b分别在x轴和y轴上滑动，则线段ab的中点的轨迹是( )

a．双曲线 b．双曲线的一支。

c．圆 d．椭圆。

解析：设a(a,0)，b(0，b)，ab的中点为m(x，y)，则a＝2x，b＝2y，由题意得＝2，即x2＋y2＝1.

答案：c6．两直线kx＋y＝1与x－y＝1的交点的轨迹方程为( )

a．x2＋y2＝1 b．x2－y2＝1

c．y2－x2＝1 d．x2＋y2＝2

解析：由得x2＋y2＝1.

答案：a二、填空题。

7．平面上有三点a(－2，y)，b，c(x，y)，若⊥，则动点c的轨迹方程为___

解析：＝，又⊥，∴2x－＝0，即y2＝8x.

答案：y2＝8x

8．在平面直角坐标系中，o为坐标原点，a(1,0)，b(2,2)，若点c满足＝＋t(－)其中t∈r，则点c的轨迹方程是___

解析：设c(x，y)，则＝(x，y)，＋t(－)1＋t,2t)，所以消去参数t得点c的轨迹方程为y＝2x－2.

答案：y＝2x－2

9．过点p(1,1)且互相垂直的两条直线l1与l2分别与x，y轴交于a，b两点，则ab的中点m的轨迹方程为___

解析：设l1：y－1＝k(x－1)，则l2：y－1＝－(x－1)，l1与x轴的交点a，l2与y轴交点b，设ab的中点m(x，y)，则整理得x＋y－1＝0.

答案：x＋y－1＝0

三、解答题。

10．已知双曲线的方程为5x2－4y2＝20，两个焦点为f1，f2.

1)求此双曲线的焦点坐标和渐近线方程；

2)若椭圆与此双曲线有公共的焦点，且有一公共点p满足|pf1|·|pf2|＝6，求椭圆的方程．

解：(1)由方程5x2－4y2＝20得－＝1，在双曲线标准方程中a2＝4，b2＝5，c2＝a2＋b2＝9，双曲线的焦点坐标为(－3,0)和(3,0)，渐近线方程为y＝±x.

2)∵椭圆与双曲线有共同的焦点，可设椭圆标准方程为＋＝1(a1＞b1＞0)，且c1＝c＝3.

p为双曲线上的点，∴|pf1|－|pf2||＝4，又∵|pf1|·|pf2|＝6，∴|pf1|＋|pf2|＝2，而p也在椭圆上，∴2a＝2，a＝，由b2＝a2－c2，∴b＝1.∴椭圆方程为＋y2＝1.

能力提升。1．(2015届洛阳模拟)设过点p(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于a，b两点，点q与点p关于y轴对称，o为坐标原点．若＝2，且·＝1，则点p的轨迹方程是( )

a. x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)

b. x2－3y2＝1(x＞0，y＞0)

c．3x2－y2＝1(x＞0，y＞0)

d．3x2＋y2＝1(x＞0，y＞0)

解析：设a(a,0)，b(0，b)，p(x，y)，a＞0，b＞0.由＝2，得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即a＝x＞0，b＝3y＞0，点q(－x，y)，故由·＝1，得(－x，y)·(a，b)＝1，即ax＋by＝1.

将a，b代入上式得所求的轨迹方程为x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)．

答案：a2．已知函数f(x)＝x2＋1的定义域为[a，b](a＜b)，值域为[1,5]，则在平面直角坐标系内，点(a，b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积是( )

a．8b．6

c．4 d．2

解析：由f(x)＝x2＋1＝5，即x2＝4，得x＝±2，根据题意得a、b的取值范围为－2≤a≤0且b＝2或者0≤b≤2且a＝－2，所以点(a，b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是一个边长为2的正方形，其面积为4，选c.

答案：c3．已知a、b分别是直线y＝x和y＝－x上的两个动点，线段ab的长为2，p是ab的中点，则动点p的轨迹c的方程为( )

a.＋y2＝1 b.＋＝1

c.＋x2＝1 d.＋＝1

解析：设p(x，y)，a(x1，y1)，b(x2，y2)．

p是线段ab的中点，∴①

a、b分别是直线y＝x和y＝－x上的点，y1＝x1和y2＝－x2.

代入①中得，②

又||＝2，∴(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝12.

12y2＋x2＝12.∴动点p的轨迹c的方程为＋y2＝1.

答案：a4．已知△abc的顶点b(0,0)，c(5,0)，ab边上的中线长|cd|＝3，则顶点a的轨迹方程为___

解析：a(x，y)，则d，∴|cd|＝＝3，化简得(x－10)2＋y2＝36，由于a、b、c三点构成三角形，∴a不能落在x轴上，即y≠0.

答案：(x－10)2＋y2＝36(y≠0)

5．已知一动圆c恒过点p(5,0)且与已知圆m(x＋5)2＋y2＝16相外切，则动圆圆心c的轨迹方程为___

解析：|cm|为两圆心间的距离，|cp|长为动圆c半径r，已知圆m半径r＝4，所以有|cm|＝r＋r，即。

cm|－|cp|＝r＝4＜|mp|＝10，点c的轨迹是以m、p为焦点实轴长为4的双曲线右支，∴a＝2，c＝5，b2＝c2－a2＝21，方程为－＝1(x≥2)．

答案：－＝1(x≥2)

6．已知椭圆c：＋＝1和点p(1,2)，直线l经过点p并与椭圆c交于a、b两点，求当l的倾斜角变化时，弦中点的轨迹方程．

解：设弦中点为m(x，y)，交点为a(x1，y1)，b(x2，y2)．当m与p不重合时，a、b、m、p四点共线．

(y2－y1)(x－1)＝(x2－x1)(y－2)，

由＋＝1，＋＝1两式相减得。

又x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，由①②可得：9x2＋16y2－9x－32y＝0

当点m与点p重合时，点m坐标为(1,2)适合方程③，弦中点的轨迹方程为：9x2＋16y2－9x－32y＝0.

7．已知圆c的方程为x2＋y2＝4.

1)直线l过点p(1,2)，且与圆c交于a，b两点，若|ab|＝2，求直线l的方程；

2)过圆c上一动点m(不在x轴上)作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为n，若向量＝＋，求动点q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．

解：(1)当直线l垂直于x轴时，直线方程为x＝1，l与圆的两个交点坐标为(1，)和(1，－)两交点距离为2，满足题意．

若直线l不垂直于x轴，设其方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0.

设圆心到此直线的距离为d，则2＝2，得d＝1.

所以＝1，解得k＝，故所求直线方程为3x－4y＋5＝0.

综上所述，所求直线方程为3x－4y＋5＝0或x＝1.

2)设点m的坐标为(x0，y0)(y0≠0)，q点坐标为(x，y)，则n点坐标是(0，y0)．

因为＝＋，所以(x，y)＝(x0,2y0)即x0＝x，y0＝.

又因为m是圆c上一点，所以x＋y＝4，即x2＋＝4(y≠0)．

所以q点的轨迹方程是＋＝1(y≠0)，其轨迹是中心在原点，焦点在y轴上，长轴为8、短轴为4且除去短轴端点的椭圆．

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