课时强化作业七十四不等式的证明。
基础强化。一、选择题。
1．已知p＝x6＋1，q＝x4＋x2，x∈r，则( )
a．p＞q b．p≥q
c．p＜q d．p≤q
解析：∵p－q＝x6＋1－x4－x2＝x4(x2－1)－(x2－1)＝(x2－1)2(x2＋1)，当x＝±1时p＝q，当x≠±1时p－q≥0.
p≥q.答案：b
2．设a＞0，b＞0，则以下不等式①＞；a＞|a－b|－b；③a2＋b2＞4ab－3b2; ④ab＋＞2中恒成立的序号是( )
a．①③b．①④
c．②③d．②④
解析：∵a，b＞0，∴a＋b≥2.
≥.故①不恒成立．
中a＋b＞|a－b|恒成立．
中a2＋b2－4ab＋3b2＝a2－4ab＋4b2＝(a－2b)2≥0，故③不成立．
中由ab＞0及ab＋≥2＞2恒成立，因此只有②④正确．
答案：d3．(2015届广东模拟)已知a，b，c都是正数，下列说法正确的是( )
a.＋＋a＋b＋c b.＋＋a＋b＋c
c．a＋b>2ab d.≤＋
解析：不妨设a≥b≥c>0，ab≥ac≥bc，≥≥
由排序原理，知ab×＋ac×＋bc×≥ab×＋ac×＋bc×，即＋＋≥a＋b＋c.
答案：a4．函数f(x)＝x＋(x＞2)，g(x)＝x2－2(x≠0)，则f(x)与g(x)的大小关系是( )
a．f(x)＞g(x) b．f(x)≥g(x)
c．f(x)＜g(x) d．f(x)≤g(x)
解析：∵f(x)＝x＋＝x－2＋＋2≥4，g(x)＝x2－2＜－2＝4，f(x)＞g(x)．
答案：a5．下列各式中，最小值等于2的是( )
a.＋ b.
c．tanθ＋ d．2x＋2－x
解析：∵2x＋2－x＝2x＋≥2，当且仅当2x＝即x＝0时等号成立．
答案：d6．设a＞b＞c，n∈n，且＋≥恒成立，则n的最大值是( )
a．2 b．3
c．4 d．6
解析：由＋≥，a＞b＞c，可知n≤(a－c)恒成立，又a－c＝a－b＋b－c，a－c)＝2＋＋≥4.
答案：c二、填空题。
7．若x＋1＞0，则x＋的最小值为___
解析：由x＋＝x＋1＋－1得，因为x＋1＞0，所以＞0，根据均值定理得x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝1，当且仅当x＋1＝，即(x＋1)2＝1，即x＋1＝1，x＝0时取等号，所以x＋的最小值为1.
答案：18．已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为___
解析：(am＋bn)(an＋bm)≥(2＝mn·(a＋b)2＝2·1＝2，当且仅当＝m＝n时取最小值2.
答案：29．不等式》|a－5|＋1对于任一非零实数x均成立，则实数a的取值范围是___
解析：＝|x|＋≥2，所以|a－5|＋1<2，即|a－5|<1，∴4答案：4三、解答题。
10．已知m，n是正整数，证明：＋≥m2＋n2.
证明：∵m＞0，n＞0，∴＋mn≥2m2，＋mn≥2n2，∴＋2mn≥2m2＋2n2.
又∵m2＋n2≥2mn，∴＋m2＋n2≥2m2＋2n2，即＋≥m2＋n2.
能力提升。1．设0＜a＜b，且f(x)＝，则下列结论中正确的是( )
a．f(a)＜f＜f()
b．f＜f(b)＜f()
c．f()＜f＜f(a)
d．f(b)＜f＜f()
解析：f(x)＝＝1＋在(0，＋∞上是关于x的减函数，因为0＜a＜b，据不等式性质及基本不等式，得b＞＞，所以f(b)＜f＜f()，故选d.
答案：d2．若x∈(－1)，则函数y＝有( )
a．最小值1 b．最大值1
c．最大值－1 d．最小值－1
解析：∵y＝＝
x<1，∴1－x＋≥2(当且仅当1－x＝即x＝0时等号成立)．
答案：c3．若x，y，a∈r＋，且＋≤a恒成立，则a的最小值是( )
a. b.
c．1 d.
解析：∵≥即≥(x＋y)，∴而＋≤a，即≥(＋恒成立，得≤，即a≥.
答案：b4．(2024年湖北卷)设x，y，z∈r，且满足：x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝，则x＋y＋z
解析：由柯西不等式可知，(x＋2y＋3z)2≤(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)，即x2＋y2＋z2≥1，因为x2＋y2＋z2＝1，所以当且仅当＝＝时取等号．此时y＝2x，z＝3x代入x＋2y＋3z＝得x＝，即y＝，z＝，所以x＋y＋z＝.
答案：5．若a，b，c均为正实数，且ab＋bc＋ca＝1，则a＋b＋c的最小值为___
解析：∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac≥3(ab＋bc＋ca)＝3(当且仅当a＝b＝c时等号成立)，∴a＋b＋c≥.
答案：6．(2024年江苏卷)已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2＋a2b.
证明：∵2a3－b3－2ab2－a2b＝(2a3－2ab2)－(a2b－b3)＝2a(a2－b2)－b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a－b)
(a＋b)(a－b)(2a－b)，又∵a≥b＞0，∴a＋b＞0，a－b≥0,2a－b≥0，(a＋b)(a－b)(2a－b)≥0.
2a3－b3－2ab2－a2b≥0，∴2a3－b3≥2ab2＋a2b.
7．(2024年全国卷ⅰ)若a>0，b>0，且＋＝.
1)求a3＋b3的最小值；
2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．
解：(1)由＝＋≥得ab≥2，且当a＝b＝时等号成立．
故a3＋b3≥2≥4，且当a＝b＝时等号成立．
所以a3＋b3的最小值为4.
2)由(1)知，2a＋3b≥2≥4.
由于4>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.
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