课时强化作业

课时强化作业六十九相似三角形的判定及有关性质。

基础强化。一、选择题

1.在△abc中，∠acb＝90°，cd⊥ab于d，ac＝6，db＝5，则ad＝(

a．9 b．3

c．4 d．5

解析：∵∠acb＝90°，∴ac2＝ad·(ad＋db)，得ad＝4.

答案：c2．在△abc中，d，e分别为ab，ac上的点，且de∥bc，△ade的面积是2 cm2，梯形dbce的面积为6 cm2，则de∶bc的值为( )

a．1∶ b．1∶2

c．1∶4 d．1∶3

解析：由题可知s△abc＝2＋6＝8，2＝＝＝

答案：b3．(2015届玉溪一中高三月考)如图在△abc中，mn∥bc，mc，nb交于点o，则图中相似三角形的对数为( )

a．1 b．2

c．3 d．4

解析：在△abc中，∵mn∥bc，mc，nb交于点o，图中相似三角形有，△amn∽△abc，△mon∽△cob，图中相似三角形的对数为2对．

答案：b4.如图，在△abc中，de∥bc，ef∥cd.若bc＝3，de＝2，df＝1，则ab的长为( )

a. b．9

c. d．18

解析：∵de∥bc，∴＝即＝＝.

ef∥cd，∴＝

＝，∴af＝2，ad＝3，∴ab＝.

答案：a5．如图，在圆o中，直径ab与弦cd垂直，垂足为e，ef⊥db，垂足为f，ab＝6，ae＝1，则df·db＝(

a．3 b．5

c．4 d．6

解析：由相交弦定理得de2＝ae·eb＝1×(6－1)＝5，又在△deb中，de2＝df·db，∴df·db＝5.

答案：b6．如图所示，ea是圆o的切线，割线eb交圆o于点c，c在直径ab上的射影为d，cd＝2，bd＝4，则ea＝(

a．4 b.

c．3 d.

解析：∵c为圆o上一点，ab为圆o的直径，∴cd2＝ad·db，∴ad＝＝1，又ae为圆的切线，∴ae⊥ab，又cd⊥ab，∴cd∥ae，∴＝ae＝＝.

答案：b二、填空题。

7．(2015届青海一中高三调研)如图，圆o上一点c在直径ab上的射影为则abcd

解析：因为圆o上一点c在直径ab上的射影为d，所以。

ac⊥bc，cd⊥ab，易知△adc∽△acb，有＝，代入ad＝2，ac＝2可解得ab＝10；同理，△adc∽△cdb，解得cd＝4，故答案为10,4.

答案：10 4

8．在abcd中，bc＝24，e，f为bd的三等分点，则bm－dn

解析：∵e，f为bd的三等分点，且abcd为平行四边形，∴＝2，∴bm＝2dn，又＝＝，bm＝12，dn＝bm＝6，∴bm－dn＝12－6＝6.

答案：69．(2024年北京卷)如图，ab为圆o的直径，pa为圆o的切线，pb与圆o相交于d，若pa＝3，pd db＝9 16，则pdab

解析：由pd db＝9 16，可设pd＝9x，db＝16x.

因为pa为圆o的切线，所以pa2＝pd·pb，所以32＝9x·(9x＋16x)，化为x2＝，所以x＝.所以pd＝9x＝，pb＝25x＝5.

因为ab为圆o的直径，pa为圆o的切线，所以ab⊥pa.所以ab＝＝＝4.

答案： 4三、解答题。

10．如图，在△abc中，bd和ce分别是两边上的中线，且bd⊥ce，bd＝6，ce＝8，求△abc的面积．

解：∵d、e分别是ac、ab的中点，de∥bc，∴＝2＝，故s△abc＝s△bcd＋s△bde＋s△ade＝bd·cg＋bd·eg＋s△abc，s△abc＝××bd·ce＝××6×8＝32.

能力提升。1．(2015届湖南师大附中高三月考)如图，ad平分∠bac，de∥ac，ef∥bc，ab＝15，af＝4，则ae＝(

a．6 b．10

c．9 d．15

解析：∵de∥ac，ef∥bc，∴四边形edcf为平行四边形，∴de＝fc，又ad平分∠bac，∴∠1＝∠2，又de∥ac，∴∠2＝∠3，∠1＝∠3，∴ae＝de，设ae＝x，则＝，∴得x＝6或x＝－10(舍)．

答案：a2.(2015届北京西城区高三月考)如图，正方形abcd的边长为4，p为ab上的点，且ap∶pb＝1∶3，pq⊥pc，则pq的长度为( )

a. b.

c. d.

解析：在△apq和△pbc中，∵∠a＝∠b＝90°，又pq⊥pc，∴∠apq＝∠pcb，∴△apq∽△pcb，∴＝pq＝＝＝

答案：a3．如图过⊙o外一点p分别作圆的切线和割线交圆于a、b，且pb＝7，c是圆上一点使得bc＝5，∠bac＝∠apb，则ab

解析：因为pa是圆的切线，所以∠bap＝∠acb，又∠bac＝∠apb，所以△bap与△bca相似，所以＝，所以ab2＝pb·cb＝7×5＝35，所以ab＝.

答案：4．(2024年重庆卷)如图，在△abc中，∠c＝90°，∠a＝60°，ab＝20，过c作△abc的外接圆的切线cd，bd⊥cd，bd与外接圆交于点e，则de的长为。

解析：延长ba交切线cd于m，因为∠c＝90°，所以ab为直径，所以半径为10，连接oc，则oc⊥cd，且oc∥bd，因为∠a＝60°，所以∠aoc＝60°，∠obe＝60°，即be＝ob＝10且∠m＝30°，即om＝2oc＝20，所以am＝10，所以bd＝(am＋ab)＝＝15，即de＝bd－be＝15－10＝5.

答案：55．如图，已知在梯形abcd中，上底长为2，下底长为6，高为4，对角线ac和bd相交于点p，1)若ap长为4，则pc

2)△abp和△cdp的高的比为。

解析：(1)∵ab∥cd，△apb∽△cpd，∴＝即＝，解得pc＝12.

2)由(1)及△abp和△cdp的高的比等于它们的相似比，得这两个三角形的高的比为1 3.

答案：(1)12 (2)1 3

6．如图，四边形abcd是平行四边形，点e在边ba的延长线上，ce交ad于点f，∠eca＝∠d.

求证：ac·be＝ce·ad.

证明：∵四边形abcd是平行四边形，∴af∥bc，＝.

又∵ae∥cd，∴△afe∽△dfc.

＝，即＝＝.

又∵∠eca＝∠d，∠caf＝∠dac，△afc∽△acd，∴＝ac·be＝ce·ad.

7．如图，ba是⊙o的直径，延长ba至e，使得ae＝ao，过e点作⊙o的割线交⊙o于d、c，使得ad＝dc.

1)求证：od∥bc；

2)若ed＝2，求⊙o的内接四边形abcd的周长．

解：(1)证明：连接ac，由od是半径，ad＝dc，∴od⊥ac，又∵∠bca＝90°，∴bc⊥ac，于是有od∥bc.

2)由(1)及ea＝ao，ed＝2，知＝＝＝ec＝3.∵ed·ec＝ea·eb＝3ea2，3ea2＝2×3，即ea＝，cd＝ec－ed＝1，bc＝od＝ea＝.

周长＝ad＋cd＋bc＋ba＝2＋.

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