课时强化作业

课时强化作业四十九直线与圆、圆与圆的位置关系。

基础强化。一、选择题。

1．圆(x－1)2＋(y＋)2＝1的切线方程中有一个是( )

a．x－y＝0 b．x＋y＝0

c．x＝0 d．y＝0

解析：∵圆的圆心(1，－)到y轴的距离为1，∴选c.

答案：c2．已知圆c：x2＋y2－4x＝0，l是过点p(3,0)的直线，则( )

a．l与c相交 b．l与c相切。

c．l与c相离 d．以上三个选项均有可能。

解析：∵32＋0－4×3＝9－12＝－3<0，∴点p(3,0)在圆内，∴直线l与圆c相交．

答案：a3．在平面直角坐标系xoy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于a、b两点，则弦ab的长等于( )

a．3 b．2

c. d．1

解析：圆心到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝＝1，∴弦ab＝2＝2.

答案：b4．已知过点p(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝(

a．－ b．1

c．2 d.

解析：∵p(2,2)为(x－1)2＋y2＝5上的点，又圆(x－1)2＋y2＝5的圆心为(1,0)，由题意得＝a，得a＝2.

答案：c5．圆c1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0与圆c2：x2＋y2－14x－2y＋14＝0的位置关系是( )

a．相交 b．内含。

c．外切 d．内切。

解析：由已知，圆c1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，圆c2：(x－7)2＋(y－1)2＝36，则|c1c2|＝5＝6－1，故选d.

答案：d6．(2014届安徽六校教育研究会高三联考)两个圆c1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈r)与c2：

x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈r)恰有三条公切线，则a＋b的最小值为( )

a．－6 b．－3

c．－3 d．3

解析：两个圆恰有三条公切线，则两圆外切．两圆的标准方程为：圆c1：

(x＋a)2＋y2＝4；圆c2：x2＋(y－b)2＝1，所以|c1c2|＝＝2＋1＝3，即a2＋b2＝9.

由a2＋b2≥及当且仅当“a＝b”时等号成立，所以(a＋b)2≤2(a2＋b2)，即|a＋b|≤3.

所以－3≤a＋b≤3.

故a＋b的最小值为－3.

答案：c二、填空题。

7．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为___

解析：由题意得，圆心(a,0)到直线的距离d为＝，由点到直线的距离公式得，得a＝0或a＝4.

答案：0或4

8．(2024年湖北卷)直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆c：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2

解析：依题意，设l1与单位圆相交于a，b两点，则∠aob＝90°，如图，当a＝1，b＝－1时满足题意，所以a2＋b2＝2.

答案：29．在平面直角坐标系xoy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是___

解析：因为圆的半径为2，且圆上有且仅有四个点到直线12x－5x＋c＝0的距离为1，即要圆心到直线的距离小于1，即<1，解得－13答案：－13三、解答题。

10．一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且直线y＝x截圆所得的弦长为2，求这个圆的方程．

解：∵圆心在x－3y＝0上，设圆心(3a，a)，设所求的圆的方程为(x－3a)2＋(y－a)2＝r2

由题意得得a＝±1，r＝3，所求的圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.

能力提升。1．直线x＋7y－5＝0截圆x2＋y2＝1所得的两段弧长之差的绝对值是( )

a. b.

c．π d.

解析：圆心到直线的距离d＝＝.又∵圆的半径r＝1，∴直线x＋7y－5＝0截圆x2＋y2＝1的弦长为。∴劣弧所对的圆心角为。∴两段弧长之差的绝对值为π－＝

答案：c2．设两圆c1，c2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|c1c2|＝(

a．4 b．4

c．8 d．8

解析：依题意，可设圆心坐标为(a，a)、半径为r，其中r＝a>0，因此圆的方程是(x－a)2＋(y－a)2＝a2，由圆过点(4,1)得(4－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－10a＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心c1，c2的横坐标，|c1c2|＝×8.

答案：c3．直线y＝x＋k与曲线x＝恰有一个公共点，则实数k的取值范围为( )a．±b

c．(－d．∪(1,1]

解析：曲线x＝表示圆心在原点，半径为1的圆的右半个圆．

如图所示，当直线y＝x＋k与半圆相切或在y轴上的截距在(－1,1]上时，直线y＝x＋k与半圆有一个公共点，所以实数k的取值范围为∪(－1,1]．

答案：d4．将直线x＋y－1＝0绕点(1,0)沿逆时针方向旋转15°得到直线l，则直线l与圆(x＋3)2＋y2＝4的位置关系是___

解析：已知直线x＋y－1＝0的斜率为－1，倾斜角为135°，直线l的倾斜角为150°，斜率为－，方程为y＝－(x－1)，即x＋y－1＝0，圆心(－3,0)到该直线的距离为d＝＝2＝r，故直线和圆相切．

答案：相切。

5．已知圆o：x2＋y2＝5，直线l：xcosθ＋ysinθ＝1.设圆o上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k

解析：圆o的圆心(0,0)到直线l：xcosθ＋ysinθ＝1的距离d＝1.而圆的半径r＝，且r－d＝－1>1，∴圆o上在直线l的两侧各有两点到直线l的距离等于1.

答案：46．在平面直角坐标系xoy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆c上．

1)求圆c的方程；

2)若圆c与直线x－y＋a＝0交于a，b两点，且oa⊥ob，求a的值．

解：(1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)．

故可设圆c的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.

则圆c的半径为＝3.

则圆c的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.

2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其坐标满足方程组：

消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.

由已知可得，判别式δ＝56－16a－4a2>0.

从而x1＋x2＝4－a，x1x2＝.

由于oa⊥ob，可得x1x2＋y1y2＝0，又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0. ②

由①②得a＝－1，满足δ>0，故a＝－1.

7．(2024年全国新课标ⅰ)已知点p(2,2)，圆c：x2＋y2－8y＝0，过点p的动直线l与圆c交于a、b两点，线段ab的中点为m，o为坐标原点．

1)求m的轨迹方程；

2)当|op|＝|om|时，求l的方程及△pom的面积．

解：(1)圆c的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为c(0,4)，半径为4.

设m(x，y)，则＝(x，y－4)，＝2－x,2－y)．

由题设知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.

由于点p在圆c的内部，所以m的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.

2)由(1)可知m的轨迹是以点n(1,3)为圆心，为半径的圆．

由于|op|＝|om|，故o**段pm的垂直平分线上．

又p在圆n上，从而on⊥pm.

因为on的斜率为3，所以l的斜率为－，故l的方程为y＝－x＋.

又|om|＝|op|＝2，o到l的距离为，|pm|＝，所以△pom的面积为。

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