课时强化作业四十八圆的方程。
基础强化。一、选择题。
1．已知直线3x＋4y－24＝0与坐标轴的两个交点及坐标原点都在一个圆上，则该圆的半径是( )
a．3 b．4
c．5 d．6
解析：直线3x＋4y－24＝0与坐标轴的两个交点为a(8,0)，b(0,6)，由题知ab为圆的直径，且|ab|＝10，∴圆的半径是5.
答案：c2．(2015届邢台一中高三月考)已知圆c的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆c相切，则圆c的方程为( )
a．x2＋y2－2x－3＝0 b．x2＋y2＋4x＝0
c．x2＋y2＋2x－3＝0 d．x2＋y2－4x＝0
解析：由圆心在x轴的正半轴上排除b、c，a中方程可化为(x－1)2＋y2＝4，半径为2，圆心(1,0)到3x＋4y＋4＝0的距离d＝＝≠2，排除a.
答案：d3．圆心在抛物线y2＝2x(y>0)上，并且与抛物线的准线及x轴都相切的圆的方程是( )
a．x2＋y2－x－2y－＝0
b．x2＋y2＋x－2y＋1＝0
c．x2＋y2－x－2y＋1＝0
d．x2＋y2－x－2y＋＝0
解析：抛物线y2＝2x(y>0)的准线为x＝－，圆与抛物线的准线及x轴都相切，则圆心在直线x＝上，与y2＝2x(y>0)联立可得圆心的坐标为半径为1，则方程为2＋(y－1)2＝1，即x2＋y2－x－2y＋＝0.
答案：d4．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈r)对称，则ab的取值范围是( )
a. b.
c. d.
解析：∵圆心(－1,2)，由题意得－2a－2b＋2＝0，得a＋b＝1，∴b＝1－a，∴ab＝a(1－a)＝－2＋≤.
答案：a5．已知两定点a(－2,0)，b(1,0)，如果动点p满足|pa|＝2|pb|，则点p的轨迹所包围的图形的面积等于( )
a．π b．4π
c．8π d．9π
解析：设p(x，y)，由题意知有，(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，整理得x2－4x＋y2＝0，配方得(x－2)2＋y2＝4.可知圆的面积为4π.
答案：b6．实数x，y满足x2＋(y＋4)2＝4，则(x－1)2＋(y－1)2的最大值为( )
a．30＋2 b．30＋4
c．30＋2 d．30＋4
解析：(x－1)2＋(y－1)2表示圆x2＋(y＋4)2＝4上动点(x，y)到点(1,1)距离d的平方，因为－2≤d≤＋2，所以最大值为(＋2)2＝30＋4.
答案：b二、填空题。
7．圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d
解析：∵圆心为(1,2)，∴圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝＝3.
答案：38．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是。
解析：圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，由题意得∴
a－b<1.
答案：(－1)
9．(2024年陕西卷)若圆c的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆c的标准方程为___
解析：因为圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，所以圆心坐标为(0,1)．所以圆的标准方程为：x2＋(y－1)2＝1.
答案：x2＋(y－1)2＝1
三、解答题。
10．已知圆c和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)，求圆c的方程．
解：因为圆c和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－＝－6，其方程为y＋1＝－6(x－4)，即y＝－6x＋23.
又因为圆心在以(4，－1)，(9,6)两点为端点的线段的中垂线y－＝－即5x＋7y－50＝0上，则解得圆心为(3,5)，所以半径为＝，故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－5)2＝37.
能力提升。1．已知两点a(－2,0)，b(0,2)，点c是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△abc面积的最小值是( )
a．3－ b．3＋
c．3－ d.
解析：lab：x－y＋2＝0，圆心(1,0)到lab的距离d＝＝，所以ab边上的高的最小值为－1.
所以smin＝×2×＝3－.
答案：a2．直线＋＝1(a>0，b>0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则ab的取值范围是( )
a. b.
c．(0,8] d．[8，＋∞
解析：由题意得，圆心(2,1)在直线＋＝1上，＋＝1，又a>0，b>0，∴1＝＋≥2，ab≥8.
答案：d3．设m，n∈r，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是( )
a．[1－，1＋]
b．(－1－]∪1＋，＋
c．[2－2，2＋2 ]
d．(－2－2 ]∪2＋2，＋∞
解析：由题意得＝1，整理得 m＋n＋1＝mn，又m，n∈r，∴mn≤
m＋n＋1≤，即(m＋n)2－4(m＋n)－4≥0，得m＋n≤2－2或m＋n≥2＋2.
答案：d4．已知点m(1,0)是圆c：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点m的最短弦所在直线的方程是___
解析：∵过点m的弦中最短的弦与cm垂直，其中c为圆心(2,1)，又kcm＝＝1，∴最短弦所在直线方程为y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0.
答案：x＋y－1＝0
5．已知圆c的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于点a、b，且ab＝，则该圆的标准方程是___
解析：依题可设⊙c：(x－1)2＋(y－b)2＝1(b>0)，且2＋b2＝1，可解得b＝，所以⊙c的标准方程为(x－1)2＋2＝1.
答案：(x－1)2＋2＝1
6．已知圆c：(x－1)2＋(y－2)2＝25及直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈r)．
1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆c恒相交；
2)求直线l被圆c截得的弦长的最短长度及此时的直线方程．
解：(1)证明：直线l可化为x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0，即不论m取什么实数，它恒过两直线x＋y－4＝0与2x＋y－7＝0的交点．
两方程联立，解得交点为(3,1)，又有(3－1)2＋(1－2)2＝5<25，点(3,1)在圆内部，不论m为何实数，直线l与圆恒相交．
2)从(1)的结论和直线l过定点m(3,1)且与过此点的圆c的半径垂直时，l被圆所截的弦长|ab|最短，由弦、半径、圆心距的关系得|ab|＝2
此时，kl＝－，从而kl＝－＝2.
l的方程为y－1＝2(x－3)，即2x－y＝5.
7．已知以点c (t∈r，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点o、a，与y轴交于点o、b，其中o为原点．
1)求证：△oab的面积为定值；
2)设直线y＝－2x＋4与圆c交于点m、n，若om＝on，求圆c的方程．
解：(1)证明：∵圆c过原点o，∴oc2＝t2＋.
设圆c的方程是(x－t)2＋2＝t2＋，令x＝0，得y1＝0，y2＝；
令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，s△oab＝oa×ob＝××2t|＝4，即△oab的面积为定值．
2)∵om＝on，cm＝cn，∴oc垂直平分线段mn.
kmn＝－2，∴kx＝.
直线oc的方程是y＝x.
＝t，解得t＝2或t＝－2.
当t＝2时，圆心c的坐标为(2,1)，oc＝，此时c到直线y＝－2x＋4的距离为d＝<，圆c与直线y＝－2x＋4相交于两点．
当t＝－2时，圆心c的坐标为(－2，－1)，oc＝，此时c到直线y＝－2x＋4的距离为d＝>，圆c与直线y＝－2x＋4不相交，t＝－2不符合题意，舍去．
圆c的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
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