课时强化作业

课时强化作业五十椭圆。

基础强化。一、选择题。

1．椭圆＋＝1的长轴长为( )

a．4 b．8

c．16 d．32

解析：∵a2＝16，a＝4，∴长轴长为2a＝8.

答案：b2．2a．充分不必要条件 b．必要不充分条件。

c．充要条件 d．既不充分也不必要条件。

解析：若＋＝1表示椭圆，则有所以2答案：b

3．从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点p向x轴作垂线，垂足恰为左焦点f1，a是椭圆与x轴正半轴的交点，b是椭圆与y轴正半轴的交点，且ab∥op(o是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )

a. b.

c. d.

解析：由于pf1⊥x轴，|pf1|＝，又ab∥op，△aob∽△of1p，＝，得b＝c，又b2＝a2－c2，∴a2＝2c2，∴e＝.

答案：c4．已知f1(－1,0)，f2(1,0)是椭圆c的两个焦点，过f2且垂直于x轴的直线交于a、b两点，且|ab|＝3，则c的方程为( )

a.＋y2＝1 b.＋＝1

c.＋＝1 d.＋＝1

解析：由题意得得。

所求的椭圆方程为＋＝1.

答案：c5．已知椭圆＋y2＝1，f1、f2为其两焦点，p为椭圆上任一点，则|pf1|·|pf2|的最大值为( )

a．6 b．4

c．2 d．8

解析：设|pf1|＝m，|pf2|＝n，则m＋n＝2a＝4，|pf1|·|pf2|＝mn≤2＝4(当且仅当m＝n＝2时，等号成立)．

答案：b6．已知p是椭圆＋＝1上的一点，f1，f2是该椭圆的两个焦点，若△pf1f2的内切圆的半径为，则tan∠f1pf2＝(

a. b.

c. d.

解析：设∠f1pf2＝θ，由题意得s△pf1f2＝(|pf1|＋

pf2|＋|f1f2|)r内。

b2tan，即＝3×tan，tan＝，tanθ＝＝

答案：b二、填空题。

7．在平面直角坐标系xoy中，椭圆c的中心为原点，焦点f1、f2在x轴上，离心率为，过f1的直线l交c于a、b两点，且△abf2的周长为16，那么c的方程为。

解析：由题意得4a＝16，得a＝4，又e＝，∴c＝2，b2＝a2－c2＝16－8＝8.

椭圆方程为＋＝1.

答案：＋＝1

8．椭圆：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为f1，f2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆的一个交点m满足∠mf1f2＝2∠mf2f1，则该椭圆的离心率等于___

解析：因为直线y＝(x＋c)过椭圆左焦点，且斜率为，∴∠mf1f2＝60°，又∠mf1f2＝2∠mf2f1，∠mf2f1＝30°，∠f1mf2＝90°，故|mf1|＝c，|mf2|＝c，由点m在椭圆上知，c＋c＝2a.

故离心率e＝＝＝1.

答案：－19．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于a、b两点，o为坐标原点，则△oab的面积为___

解析：将椭圆与直线方程联立得交点a(0，－2)，b，f为椭圆右焦点，故s△oab＝·|of|·|y1－y2|＝×1×＝.

答案：三、解答题。

10．已知f1、f2是椭圆的两个焦点，p为椭圆上一点，∠f1pf2＝60°.

1)求椭圆离心率的范围；

2)求证：△f1pf2的面积只与椭圆的短轴长有关．

解：(1)不妨设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，pf1|＝m，|pf2|＝n.

在△pf1f2中，由余弦定理可知，4c2＝m2＋n2－2mncos60°.

m＋n＝2a，m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4a2－2mn，4c2＝4a2－3mn，即3mn＝4a2－4c2.

又mn≤2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)，4a2－4c2≤3a2，≥，即e≥，又0＜e＜1，e的取值范围是。

2)证明：由(1)知mn＝b2，s△pf1f2＝mnsin60°＝b2，即△pf1f2的面积只与短轴长有关．

能力提升。1．(2015届福州一中高三月考)设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈，则实数k的取值范围是( )

a．(0,3) b.

c．(0,3)∪ d．(0,2)

解析：当k>4时，c＝，由条件知<<1，解得k>；当0答案：c

2．(2015届山东省济南市高三月考)已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆c1与双曲线c2有共同的焦点，设左右焦点分别为f1、f2，p是c1与c2在第一象限的交点，△pf1f2是以pf1为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1·e2的取值范围是( )

a. b.

c. d．(0，＋∞

解析：椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，焦距为2c，根据题意：pf2＝2c，pf1＝2a1－2c＝2a2＋2c，因为在等腰三角形f2pf1中，|f1f2|＋|pf2|>|pf1|，所以，4c>2a1－2c,4c>2a2＋2c，所以， 1.

所以，e1·e2>.

答案：c3．(2015届宁波模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为4，且过p(，)把曲线c绕着坐标原点逆时针或顺时针旋转，得到的曲线离心率与原曲线c的离心率之比为( )

a. b．1

c. d.

解析：∵2c＝4，∴c＝2.∴a2－b2＝4，又椭圆过p(，)则＋＝1，解方程组得a2＝8，b2＝4，故原椭圆方程为＋＝1.

离心率e1＝＝＝把曲线c绕着坐标原点逆时针或顺时针旋转，得到的曲线方程为＋＝1，所以旋转后的椭圆的离心率为e2＝＝＝所以＝1，选b.

答案：b4．设f1，f2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若在直线x＝上存在一点p，使得线段pf1的中垂线过点f2，则椭圆的离心率e的取值范围是___

解析：设直线x＝与x轴的交点为q，由题意得|pf2|＝|f1f2|＝2c，f2q|＝－c＝＝，pf2|≥|f2q|，2c≥，即2c2≥a2－c2，e≥又0∴≤e<1.

答案：5．已知椭圆c：＋＝1(a>b>0)的离心率为，过右焦点f且斜率为k(k>0)的直线与c相交于a，b两点．若＝3，则k

解析：根据已知＝，可得a2＝c2，则b2＝c2，故椭圆方程为＋＝1，即3x2＋12y2－4c2＝0.

设直线的方程为x＝my＋c，代入椭圆方程得(3m2＋12)y2＋6mcy－c2＝0，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则根据＝3，得(c－x1，－y1)＝3(x2－c，y2)，由此得－y1＝3y2，根据根与系数的关系得y1＋y2＝－，y1y2＝－，把－y1＝3y2代入得，y2＝，y＝，故9m2＝m2＋4，故m2＝，从而k2＝2，k＝±.

又k>0，故k＝.

答案：6．(2024年北京卷)已知椭圆c：x2＋2y2＝4.

1)求椭圆c的离心率；

2)设o为原点，若点a在直线y＝2，点b在椭圆c上，且oa⊥ob，求线段ab长度的最小值．

解：(1)由题意，椭圆c的标准方程为＋＝1.

所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.

因此a＝2，c＝.故椭圆c的离心率e＝＝.

2)设点a、b的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x0≠0.

因为oa⊥ob，所以·＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－.

又x＋2y＝4，所以。

ab|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2

2＋(y0－2)2

x＋y＋＋4

x＋＋＋4＋＋4(0因为＋≥4(0故线段ab长度的最小值为2.

7．已知a，b，c是椭圆w：＋y2＝1上的三个点，o是坐标原点．

1)当点b是w的右顶点，且四边形oabc为菱形时，求此菱形的面积；

2)当点b不是w的顶点时，判断四边形oabc是否可能为菱形，并说明理由．

解：(1)椭圆w：＋y2＝1的右顶点b的坐标为(2,0)．

因为四边形oabc为菱形，所以ac与ob相互垂直平分．

所以可设a(1，m)，代入椭圆方程得＋m2＝1，即m＝±.

所以菱形oabc的面积是|ob|·|ac|＝×2×2|m|＝.

2)假设四边形oabc为菱形．

因为点b不是w的顶点，且直线ac不过原点，所以可设ac的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)．

由消y并整理得。

1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.

设a(x1，y1)，c(x2，y2)，则。

－，＝k·＋m＝.

所以ac的中点为m.

因为m为ac和ob的交点，所以直线ob的斜率为－.

因为k·≠－1，所以ac与ob不垂直．

所以oabc不是菱形，与假设矛盾．

所以当点b不是w的顶点时，四边形oabc不可能是菱形．

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