课时强化作业四十四空间向量及其运算(理)
基础强化。一、选择题。
1．已知空间四边形abcd中，g为cd的中点，则＋(＋等于( )
a. b．c
c. d.
解析：依题意有＋(＋
答案：a2．空间直角坐标系中，a(1,2,3)，b(－2，－1,6)，c(3,2,1)，d(4,3,0)，则直线ab与cd的位置关系是( )
a．垂直 b．平行。
c．异面 d．相交但不垂直。
解析：＝(3，－3,3)，＝1,1，－1)，＝3，又＝(5,3，－5)，不平行于，ab∥cd.
答案：b3．已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)若a，b，c三向量共面，则λ＝(
a．9 b．－9
c．－3 d．3
解析：由题意知c＝xa＋yb，即(7,6，λ)x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，∴解得λ＝－9.
答案：b4．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为( )
a．－2 b．－
c. d．2
解析：由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，∴14－7λ＝0，∴λ2.
答案：d5．在三棱锥p－abc中，d为bc的中点，设＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的是( )
a. b＋c－a b. b－c＋a
c. b－c－a d．－ b－c＋a
解析：∵d为bc的中点，∴＝a.
答案：a6．已知正方体abcd－a1b1c1d1的棱长为a，＝m1，点n为b1b的中点，则|mn|＝(
a. a b. a
c. a d. a
解析：＝－1
＋b－(＋1)
||＝a.答案：a
二、填空题。
7．若a＝(2，－2，－2)，b＝(2,0,4)，则a与b的夹角的余弦值为___
解析：cos〈a·b〉＝＝
答案：－8．在四面体o－abc中，＝a，＝b，＝c，d为bc的中点，e为ad的中点，则用a，b，c表示)
解析：由题意得＝(＋o)＝＝a＋b＋c.
答案： a＋b＋c
9．(2015届衡水模拟)已知向量a＝(1,2,3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a与b同向，则x＋y的值为___
解析：由题意知a∥b，所以＝＝，即。
把①代入②得x2＋x－2＝0，(x＋2)(x－1)＝0，解得x＝－2或x＝1.
当x＝－2时，y＝－6；
当x＝1时，y＝3.
当时，b＝(－2，－4，－6)＝－2a，两向量a，b反向，不符合题意，所以舍去．
当时，b＝(1,2,3)＝a，a与b同向，符合题意，所以x＋y＝1＋3＝4.
答案：4三、解答题。
10．已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点a(－3，－1,4)，b(－2，－2,2)．
1)求|2a＋b|；
2)在直线ab上，是否存在一定点e，使得⊥b？(o为原点)
解：(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a＋b|＝＝5.
2)＝＋t(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)
(－3＋t，－1－t,4－2t)，若⊥b，则·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝，因此存在点e，使得⊥b，此时e点坐标为。
能力提升。1．在空间四边形abcd中，下列各式正确的是( )
a.·＋0b.·＋
c.·＝d．以上都不对。
解析：如图，设a＝，b＝，c＝，则·＋·b－a)·(c)＋(c－a)·b＋(－a)·(c－b)＝－b·c＋a·c＋c·b－a·b－a·c＋a·b＝0.
答案：a2．有四个命题：
若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb；③若＝x＋y，则p、m、a、b共面；④若p、m、a、b共面，则＝x＋y.其中真命题的个数是( )
a．1 b．2
c．3 d．4
解析：①正确；②中若a，b共线，p与a不共线，则p＝xa＋yb就不成立；③正确；④中若m、a、b共线，点p不在此直线上，则＝x＋y不正确，故选b.
答案：b3．设oabc是四面体，g1是△abc的重心，g是og1上一点，且og＝3gg1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为( )
a. b.
c. d.
解析由og＝3gg1知x，y，z)＝.
答案：a4.空间四边形oabc中，oa＝8，ab＝6，ac＝4，bc＝5，∠oac＝45°，∠oab＝60°，则oa与bc所成角的余弦值等于___
解析：由题意知8×4×cos45°－8×6×cos60°＝16－24.
cos〈，〉
oa与bc所成角的余弦值为。
答案：5．正方体abcd－a1b1c1d1的棱长为1，m、n分别在直线aa1和bd1上运动．当m、n在何位置时，|mn|最小，且|mn|的最小值是___
解析：建立如图所示空间直角坐标系，则a(1,0,0)，a1(1,0,1)，b(1,1,0)，d1(0,0,1)，设m(1,0，t)，＝1，则0≤t≤1,0≤λ≤1，设n(x0，y0，z0)，则(x0－1，y0－1，z0)＝λ1，－1,1)，∴n(1－λ，1－λ，1－λ，t)，|2＝λ2＋(1－λ)2＋(λt)2＝2λ2－2λ＋1＋(λt)2＝22＋(λt)2＋，当且仅当λ＝＝t时，||2取到最小值。
||的最小值为。
答案：6．如图所示，已知空间四边形abcd中，向量＝a，＝b，＝c，若m为bc中点，g为△bcd的重心，试用a、b、c表示下列向量：
解：(1)在△adm中，＝＋由线段中点的向量表示知＝(＋a＋b)，由相反向量的概念知＝－＝c.
所以＝＋＝a＋b)－c
(a＋b－2c)．
2)由三角形重心的性质，得＝＋d＝c＋
c＋c＋(－c＋(a＋b－2c)
(a＋b＋c)．
7．直三棱柱abc－a′b′c′中，ac＝bc＝aa′，∠acb＝90°，d、e分别为ab、bb′的中点．
1)求证：ce⊥a′d；
2)求异面直线ce与ac′所成角的余弦值．
解：(1)证明：设＝a，＝b，′＝c，根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0，＝b＋c，＝－c＋b－a.
·＝－c2＋b2＝0，⊥，即ce⊥a′d.
2)′＝a＋c，|′a|，|a|.
·＝(a＋c)·＝c2＝|a|2，cos〈′，
即异面直线ce与ac′所成角的余弦值为。
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