林城中学九年级上期数学竞赛测试卷。
答题时注意：
1、试卷满分150分；考试时间：120分钟。
2、试卷共三大题，共计17道题。
一．选择题：（每小题6分，共36分）
1．如果多项式，则的最小值是。
a) 2005 (b) 2006 (c) 2007 (d) 2008
2.如图，d是边长为1的等边△abc中bc边上的一点， de⊥ab，df⊥ac，e，f分别为垂足， 则de+df等于。
（a） 1 （b） 2 （c） （d）
3．设则x 与y的大小关系是。
a）x＞y （b） x＜y （c） x=y （d）无法确定
4．如图：电子跳蚤游戏盘为△abc，ab=8a，ac=9a，bc=10a，如果电子跳蚤开始时在bc边上的p0点，bp0=4a，第一步跳蚤跳到ac边上p1点，且cp1=cp0；第二步跳蚤从p1点跳到ab边上p2点，且ap2=ap1；第三步跳蚤从p2点回跳到bc边上p3点，且bp3=bp2；…；跳蚤按上述规则跳下去，第2001次落点为p2001请计算p0到p2001之间的距离是…（
a）a （b）2a （c）3a （d）4a
5．在直角坐标系中，已知点a（1，1），在x轴上确定点p，使△aop为等腰三角形，则符合条件的点p共有a）1个 （b）2个 （c）3 个 （d）4个。
6．如图，以rt△abc的斜边bc为一边在△abc的同侧作正方形bcef，设正方形的中心为o，连结ao，如果ab＝4，ao＝6，那么ac的长等于。
a）12 （b）16 （c）4 （d）8
二．填空题：（每小题6分，共36分）
7.若、都是质数，且，则的值等于。
8．如图所示，四边形abcd是正方形，e为bf上一点，四边形aefc恰是一个菱形，则∠eab
9．方程的正整数解为。
10．若，则的值等于第8题）
11．如图， 点a，c都在函数的图象上，点b， d都在轴上，且使得△oab，△bcd都是等边三角形，则点d的坐标为。
第11题）12．已知一个梯形的高为12㎝,两条对角线的长分别为13㎝和15㎝,则这个梯形的上底与下底之长的和是。
三、解答题（共6题，共78分）
13．（本题满分15分）
已知a、b、c是非负实数，并且满足3a+2b+c=5，2a+b-3c=1．设m=3a+b-7c，记x为m的最小值，y为m的最大值．求xy的值．
14、（本题满分15分）
对于如图①、②所示的四个平面图
我们规定：如图③，它的顶点为a、b、c、d、e共5个，区域为aed、abe、bec、ced共4个，边为ae、ec、de、eb、ab、bc、cd、da共8条。
1）按此规定将图①、②的顶点数、边数、区域数填入下列**：
2）观察左边**，请你归纳上述平面图的顶点数、边数、区域数之间的数量关系。
3）若有一个平面图满足（2）中归纳所得的数量关系，它共有9个区域，且每一个顶点出发都有3条边，则这个平面图共有多少条边？
15．（本题满分16分）
某矿泉水厂生产一种矿泉水，经测算，用一吨水生产的矿泉水所获利润y（元）与1吨水的**x（元）的关系如图所示：
1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
2）为节约用水，特规定：该厂日用水量不超过20吨，水价为每吨4元；日用水量超过20吨时，超过部分按每吨40元收费，已知该厂日用水量不少于20吨，设该厂日用水量为t吨，当日所获利润为w元，求w与t 的函数关系式；若该厂加强管理，积极节约用水，使日用水量不超过25吨，但仍不少于20吨，求该厂的日利润的取值范围。
16．（本题满分16分）
设k（2≤k≤3）是给定的正整数，是否存在正整数m，n，使得。
m（m+k）=n（n+1）成立？
17、（本题满分16分）
如图，正三角形abc的边长为a，d是bc的中点，p是ac边上的点，连结pb和pd得到△pbd。求：
当点p运动到ac的中点时，△pbd的周长；
当点p运动到什么位置时，△pbd的周长的最小，并求这个最小值。（要求画出点p的位置，并简单说明画法）。
参***。一．选择题。
1．a 4a 5d
6．（2023年全国数学竞赛复赛试题）答案：b
解：在ac上取一点g，使cg=ab=4，连接og，则。
ogc≌△oab，所以og=oa=，aog=90°，所以△aog是等腰直角三角形，ag=，所以ac=16．
二．填空题：
7．2001 8.15度（延长dc，用等积法得ac边上的高长等于ac的一半，得角cae的度数为30度。）9．x=1，y=9 10.2008 12.14
11．“《数学周报》杯”2023年全国初中数学竞赛试题。
解：如图，分别过点a，c作x轴的垂线，垂足分别为e，f．设oe＝a，bf＝b， 则ae＝，cf＝，所以，点a，c的坐标为，），2＋b，），三、解答题（共6题，共78分）
所以 解得。
因此，点d的坐标为（，0）．
14、（本题满分12分）（2023年温州中学提前招生试题）
对于如图①、②所示的四个平面图
我们规定：如图③，它的顶点为a、b、c、d、e共5个，区域为aed、abe、bec、ced共4个，边为ae、ec、de、eb、ab、bc、cd、da共8条。
1）按此规定将图①、②的顶点数、边数、区域数填入下列**：
6分 2）观察上表，请你归纳上述平面图的顶点数、边数、区域数之间的数量关系。
顶点数+区域数-边数＝19分。
3）若有一个平面图满足（2）中归纳所得的数量关系，它共有9个区域，且每一个顶点出发都有3条边，则这个平面图共有多少条边？
解：设这个平面图有个顶点，因为每一个顶点有3条边，所以它有条边，根据上述规律：解得
所以这个平面图有24条边15分。
16．设(2≤≤3)是给定的正整数，是否存在正整数m，n，使得。
解：（1）当k=2时，答案是否定的．若存在正整数m，n，使得，则 ， 显然，于是 ，所以，不是平方数，矛盾8分。
2）当时，答案也是否定的，若存在正整数m，n，满足，则， ，而，故上式不可能成立16分。
综上所述，当2≤k≤3时，答案是否定的；
15：见课本218页。
17、如图1，当点p运动到ac的中点时，bp⊥ac，dp∥ab2分）
所以4分）即△abc的周长为bp＋dp＋bd6分）
如图2，作点b关于ac的对称点e，连结ep、eb、ed、ec，则pb＋pd=pe＋pd，因此ed的长就是pb＋pd的最小值，即当点p运动到ed与ac的交点g时，△pbd的周长最小。 （9分）
从点d作df⊥be，垂足为f，因为bc=a，所以，。
因为∠dbf=30°，所以，15分）所以△pbd的周长的最小值是16分）
九年级数学竞赛试卷
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