九年级数学竞赛试卷

一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分）

1.使代数式y=的值为整数的全体自然数x的和是( )

a.5b.6c.12d.22

2.方程|x|－=实数根的个数为( )

a.1b.2c.3d.4

3. 如图，正方形abcd的边ab在x轴的正半轴上，c(2,1)，d(1,1).反比例函数y=的图像与边bc交于点e，与边cd交于点f.

已知be：ce=3：1，则df：

fc等于( )

a.4：1 b.3：1 c. 2：1 d. 1：1

4.如图，∠xoy= 90°，ow平分∠xoy，pa⊥ox，pb⊥oy，pc⊥ow.若oa+ob+oc=1，则oc的长( )

a.2－ b.－1 c. 6－ d.2 －3

5.在自变量x的取值范围59≤x≤60内，二次函数y=x2+x+ 的函数值中整数的个数是( )

a.59 b.120 c.118 d.60

二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分）

6．若，则的值为。

7．若实数a，b满足，则a的取值范围是。

8.加油站a和商店b在马路mn的同一侧（如图），a到mn的距离大于b到mn的距离，ab＝7米，一个行人p在马路mn上行走，问：当p到a的距离与p到b的距离之差最大时，这个差等于 _米。

9．如图，在四边形abcd中，∠b＝135°，∠c＝120°，ab=，bc=，cd＝，则ad边的长为。

10. 如图，在平面直角坐标系xoy中，多边形oabcde的顶点坐标分别是o（0，0），a（0，6），b（4，6），c（4，4），d（6，4），e（6，0）．若直线l经过点m（2，3），且将多边形oabcde分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是。

三、解答题（共3小题，每小题20分，共60分）

11．设实数a，b满足：，求的最小值。

12.在平面直角坐标系xoy中，我们把横坐标为整数，纵坐标为完成平方数的点称为“好点”，求二次函数y=（x－90）2－4907的图像上的所有“好点”的坐标。

13.如图，在四边形abcd中，，，四边形abem，mefn，nfcd的面积分别记为，和，求的值。

参***。一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分）

由于y= =x－1+，为使为整数，则自然数x可取0，1，2，3，5，11，其和为22.

当x>0时，x－4/x=3，x2－3x－4=0，x1=4，x2=－1(舍);

当x<0时，－x－4/x=－3，x2－3x+4=0，δ<0，无实根。

综上，原方程只有一个实数根x=4.

延长cp交oy于点d，易知bd=pb=oa.则oa+ob=ob+bd=od= 2oc.

故1=oa+ob+oc=oc，即oc= －1.

注意到y=x2+x+ =x+ )2+，当x>－时，y随x的增大而增大。

由于59≤x≤60，则592+59+≤y≤602+60+ ，即 3 540≤y≤3 660 .

此范围共含有整数3 660－3 541+1=120个。

二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分）

6．由题设得．

7．因为b是实数，所以关于b的一元二次方程。

0, 解得a≤或 a≥4．

9．如图，过点a，d分别作ae，df垂直于直线bc，垂足分别为e，f．

由已知可得be=ae=，cf＝，df＝2，于是 ef＝4＋．

过点a作ag⊥df，垂足为g．在rt△adg中，根据勾股定理得。

ad＝．10．如图，延长bc交x轴于点f；连接ob，afce，df，且相交于点n．由已知得点m（2，3）是ob，af的中点，即点m为矩形abfo的中心，所以直线把矩形abfo分成面积相等的两部分．又因为点n（5，2）是矩形cdef的中心，所以，过点n（5，2）的直线把矩形cdef分成面积相等的两部分．于是，直线即为所求的直线．

设直线的函数表达式为，则。

解得故所求直线的函数表达式为．

三、解答题（共3小题，每小题20分，共60分）

11．解：由可得，所以，或8分。

i）当时，于是时，的最小值为，此时，.…6分。

ii）当时，于是时，的最小值为，此时，.

综上可知，的最小值为6分。

12. 设y=m2，（x－90）2=k2，m、k都是非负整数，则。

k2－m2=7×701=1×4907

即（k－m）（k+m）=7×701=1×490710分。

则有。故“好点”共有4个，它们的坐标是：

10分。13.如图，连接ae、ne和nc，易知。

由，两个式子相加得 ①

………6分。

并且四边形aecn的面积。

连接ac(如图)由三角形面积公式，易知，两个式子相加得s四边形aecn =

………6分。

将①式和②相加，得到，既然，，因此，.

………8分。

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