一、选择题。
1、下列函数求导运算正确的个数为a. b. c. d.
2、已知函数f(x)=x2﹣ax,g(x)=b+aln(x﹣1),存在实数a(a≥1),使y=f(x)的图象与y=g(x)的图象无公共点,则实数b的取值范围为( )
a.[1,+∞b.[1,) c.[)d.(﹣
3、已知定义在(0,+∞上的单调函数f(x),对x∈(0,+∞都有f[f(x)﹣log2x]=3,则方程f(x)﹣f′(x)=2的解所在的区间是( )a.(0,) b.(1,2)c.(,1) d.(2,3)4、已知函数,若对任意,总有为某一个三角形的边长,则实数的取值范围是( )a、b、 c、d、
5、已知g(x)为三次函数 f (x)=x3 +ax2+cx的导函数,则它们的图象可能是( )
6、已知定义在上的函数,其导函数为,且恒成立,则( )a b c d
7、设,当时取得极大值,当时取得极小值,则的取值范围为:()a. b. c. d.
8、对于三次函数,给出定义:设是函数的导数,是的导数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”。某同学经过**发现:
任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心。设函数,=(
a. 9、已知函数f(x)的定义域为[-3,+∞且f(6)= x)为f(x)的导函数,f ′(x)的图象如图所示.若正数a,b满足f(2a+b)<2,则的取值范围是( )
a.(-3,+∞b.(-3) c.(-3,+∞d.(-3)
10、已知是函数的导数,要得到的图像,只需将y=f(2x)的图像。
a向左平移个个单位 b向右平移个单位 c向左平移个单位 d向左平移个单位。
二、填空题。
11、已知函数f(x)=x3﹣12x,若f(x)在区间(2m,m+1)上单调递减,则实数m的取值范围是 .
12、已知点p(1,m)是函数y=ax+图象上的点,直线x+y=b是该函数图象在p点处的切线,则a+b﹣m
13、设,对于任意的,均单调递增,则的取值范围为
14、已知t为常数,函数在区间上的最大值为2,则实数 .
15、函数的两个极值点为,且,则的最大值是 .
三、解答题。
17、已知函数。(1) 当时,求函数的单调区间;
2) 当时,函数图象上的点都在所表示的平面区域内,求实数的取值范围.
18、已知函数.(ⅰ若在处取得极值,求a的值;
ⅱ)求函数在上的最大值.
19、已知函数,其中是自然对数的底数,.
1)当时,解不等式;
2)当时,求整数的所有值,使方程在上有解;
3)若在上是单调增函数,求的取值范围.
20、已知函数.
1)若为的极值点,求实数的值;
2)若在上为增函数,求实数的取值范围;
3)当时,方程有实根,求实数的最大值。
21、已知函数f(x)=+ln x在[1,+∞上为增函数,且θ∈(0,π)t∈r.
ⅰ)求θ的值;
(ⅱ)当t=0时,求函数g(x)的单调区间和极大值;
ⅲ)若在[1,e]上至少存在一个x0,使得g(x0)>f(x0)成立,求t的取值范围.
参***。一、填空题。
考点】利用导数研究函数的单调性.
专题】计算题;规律型;函数思想;方程思想;转化思想;导数的综合应用.
分析】由函数f(x)=x3﹣12x在(2m,m+1)内单调递减转化成f′(x)≤0在(2m,m+1)内恒成立,得到关于m的关系式,即可求出m的范围.
解答】解:∵函数f(x)=x3﹣12x在(2m,m+1)上单调递减,f'(x)=3x2﹣12≤0在(2m,m+1)上恒成立.
故 ,即成立.
解得﹣1≤m<1
故答案为:[﹣1,1).
点评】此题主要考查利用导函数的正负判断原函数的单调性,考查函数的恒成立,转化思想的应用,属于中档题.
考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
专题】计算题;导数的概念及应用.
分析】求出函数y=ax+的导数,求出切线的斜率,由已知切线,得到a﹣2=﹣1,从而得到m,再由切线过切点,即可得到b,进而得到a+b﹣m.
解答】解:点p(1,m)是函数y=ax+图象上的点,则m=a+2,函数y=ax+的导数y′=a﹣,该函数图象在p点处的切线斜率为a﹣2,由于直线x+y=b是该函数图象在p点处的切线,则有a﹣2=﹣1,即a=1,m=3,b=1+m=4,则有a+b﹣m=1+4﹣3=2.
故答案为:2.
点评】本题考查导数的几何意义:函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率,考查运算能力,属于基础题.
二、选择题。
6、b 7、d【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;函数的零点与方程根的关系.
专题】函数的性质及应用;导数的综合应用.
分析】若y=f(x)的图象与y=g(x)的图象无公共点,则等价为f(x)﹣g(x)>0或f(x)﹣g(x)<0恒成立,利用参数分离法,转化为求函数的最值,构造函数,求函数的导数,利用导数进行求解即可.
解答】解:若y=f(x)的图象与y=g(x)的图象无公共点,则等价为f(x)﹣g(x)>0或f(x)﹣g(x)<0恒成立,即x2﹣ax﹣b﹣aln(x﹣1)>0或,x2﹣ax﹣b﹣aln(x﹣1)<0恒成立,即x2﹣ax﹣aln(x﹣1)>b或x2﹣ax﹣aln(x﹣1)<b恒成立,设h(x)=x2﹣ax﹣aln(x﹣1),则函数h(x)的定义域为(1,+∞函数的导数h′(x)=2x﹣a﹣=,当a≥1时,≥,故x∈(1,)时,h′(x)<0,x∈(,时,h′(x)>0,即当x=时,函数h(x)取得极小值同时也是最小值h()=设g(a)=h()=则g(a)在[1,+∞上为减函数,g(a)的最大值为g(1)=,故h(x)的最小值h()≤则若x2﹣ax﹣aln(x﹣1)>b,则b<,若x2﹣ax﹣aln(x﹣1)<b恒成立,则不成立,综上b<,故选:d
点评】本题主要考查函数的相交问题,构造函数,利用参数分类法,结合导数研究函数的最值是解决本题的关键.综合性较强,难度较大.
8、b【考点】导数的运算.
专题】导数的综合应用.
分析】设t=f(x)﹣log2x,则f(x)=log2x+t,又由f(t)=3,即log2t+t=3,解可得t的值,可得f(x)的解析式,由二分法分析可得h(x)的零点所在的区间为(1,2),结合函数的零点与方程的根的关系,即可得答案.
解答】解:根据题意,对任意的x∈(0,+∞都有f[f(x)﹣log2x]=3,又由f(x)是定义在(0,+∞上的单调函数,则f(x)﹣log2x为定值,设t=f(x)﹣log2x,则f(x)=log2x+t,又由f(t)=3,即log2t+t=3,解可得,t=2;
则f(x)=log2x+2,f′(x)=,将f(x)=log2x+2,f′(x)=代入f(x)﹣f′(x)=2,可得log2x+2﹣=2,即log2x﹣=0,令h(x)=log2x﹣,分析易得h(1)=<0,h(2)=1﹣>0,则h(x)=log2x﹣的零点在(1,2)之间,则方程log2x﹣=0,即f(x)﹣f′(x)=2的根在(1,2)上,故选:b.
点评】本题考查二分法求函数的零点与函数零点与方程根的关系的应用,关键点和难点是求出f(x)的解析式.
9、d【考点】导数的实际应用。
试题解析】依题意,对任意,有成立。
因为,所以。
当时,为上的减函数,值域为,所以,所以。
当时,所以,符合题意
当时,为上的增函数,值域为,所以,所以。
所以,即。所以,故选d
答案】d10、a
11、d 13、b
14、a15、d
16、d 三、综合题。
17、解:(1) 当。时,由解得,由解得。
故函数的单调递增区间为,单调递减区间为。 (4分)
2) 因函数图象上的点都在所表示的平面区域内,则当时,不等式恒成立,即恒成立,、
设(),只需即可.
由, i) 当时, ,当时,,函数在上单调递减,故成立.
ii) 当时,由,因,所以, 若,即时,在区间上,则函数在上单调递增,在上无最大值,当时, ,此时不满足条件;
若,即时,函数在上单调递减,在区间上单调递增,同样在上无最大值,当时, ,不满足条件.
iii) 当时,由,∵,故函数在上单调递减,故成立.
综上所述,实数a的取值范围是.
18、解:(ⅰ函数的定义域为. …1分。
.…3分。在处取得极值,
即, . …5分。
当时,在内,在内,是函数的极小值点6分。
7分。 x∈, 在上单调递增;在上单调递减, …9分。
当时, 在单调递增,
; …10分。
当,即时,在单调递增,在单调递减,; 11分。
当,即时,在单调递减,. 12分。
综上所述,当时,函数在上的最大值是;
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