11．5 导数的综合应用。
一、明确复习目标。
了解可导函数的单调性与其导数的关系，会用导数分析函数的单调性，进而求解函数不等式的问题；
二．建构知识网络。
1．函数的单调性与导数的关系，求单调区间的方法（见上一节）；
2．利用导数解不等式问题：（高考中的一类新题型）
1）利用导数确定函数的单调性，2）利用单调性研究不等式。
三、双基题目练练手。
1．已知a>0，函数f（x）=x3－ax在［1，+∞上是单调增函数，则a的最大值是。
a．0b．1c．2d．3
2．函数f（x）=sin（3x－）在点（,）处的切线方程是 （
a．3x+2y+－=0, b．3x－2y+－=0
c．3x－2y－－=0, d．3x+2y－－=0
3．(2006湖北)若的大小关系 （
a． b． c． d．与x的取值有关。
4．（2006江西）对于上可导的任意函数f(x),若满足(x－1)f′(x)≥0,则必有（ ）
a．f(0)+ f(2)<2 f(1) b． f(0)+ f(2)≤2 f(1)
c． f(0)+ f(2)≥2 f(1) d． f(0)+ f(2)>2 f(1)
5．若函数y=－x3+bx有三个单调区间，则b的取值范围是___
6．方程x3－3x+c=0在［0，1］上至多有___个实数根．
简答：1－4．dbdc；
5． y′=－4x2+b，若y′值有正、有负，则b>0．答案：b>0
6．设f（x）=x3－3x+c，则（x）=3x2－3=3（x2－1）．
当x∈（0，1）时，（x）<0恒成立．
f（x）在（0，1）上单调递减．
f（x）的图象与x轴最多有一个交点．
因此方程x3－3x+c=0在［0，1）上至多有一实根．
四、经典例题做一做。
例1】证明：当x>0时，有。
证明：设f(x)=x-sinx,于是f(0)=0．
f/(x)=1-cosx(仅在x=2kπ(k∈z)处f/(x)=0
当x>0时，f(x)单调递增，从而有f(x)>f(0)
即x-sinx>0, x>sinx(x>0)
为证不等式，设。
g(x)=sinx-x+,则g(0)=0,于是g/(x)>0,∴g(x)在x>0时递增，从而有g(x)>g(0)=0
即。故当x>0时有。
提炼方法：证不等式的依据i：
1） 若函数f(x)在x>a可导，且递增，则f(x)>f(a);
2） 若函数f(x)在x>a可导，且递减，则f(x)《f(a);
关键在于构造恰当的函数，一般是左-右，右-左，左÷右等。
例2】已知。
求证：函数f(x)图像上的点不可能在函数g(x)图像的上方。
证明：设f(x)=(2-x)ex-1,(x<2)
f/(x)=(1-x)ex-1,当x<1时，f/（x）>0,当1∴x=1时，f(x)有极大值，也就是最大值。
f(x)≤f(1)=1,又x<2,函数f(x)图像上的点不可能在函数g(x)图像的上方。
提炼方法：证不等式的依据ii：
1)若函数f(x)在某一范围内有最小值m,则f(x)≥m．
2)若函数f(x)在某一范围内有最大值m，则f(x)≤m．
例3】(2006全国ⅰ）已知函数
ⅰ）设a>0，讨论y=f(x)的单调性；
ⅱ）若对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1，求a的取值范围
解(ⅰ)f(x)的定义域为(－∞1)∪(1,+∞对f(x)求导数得 f '(x)= e－ax
ⅰ)当a=2时， f '(x)= e－2x, f '(x)在(－∞0), 0,1)和(1,+ 均大于0, 所以f(x)在(－∞1), 1,+∞为增函数；
ⅱ)当00, f(x)在(－∞1), 1,+∞为增函数；
ⅲ)当a>2时， 0<<1, 令f '(x)=0 ,解得x1= －x2=
当x变化时， f '(x)和f(x)的变化情况如下表：
f(x)在1), 1,+∞为增函数， f(x)在(－,为减函数。
ⅱ)(当0f(0)=1
ⅱ)当a>2时， 取x0= ∈0,1),则由(ⅰ)知 f(x0)(ⅲ当a≤0时， 对任意x∈(0,1),恒有》1且e－ax≥1,得
f(x)= e－ax≥>1 综上当且仅当a∈(－2]时，对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1 。
特别提示：对于求单调区间、极值、最值问题，根据导数的零点把定义区间分开，列出**，再分析各区间导数的符号，进而确定单调区间、极值最值，清楚直观不易出错。
例4】 (2006全国ⅰ) 在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线c，动点p在c上，c在点p处的切线与轴的交点分别为a、b，且向量求：
ⅰ）点m的轨迹方程；
ⅱ）的最小值。
解： 椭圆方程可写为： +1 式中a>b>0 , 且得a2=4,b2=1,所以曲线c的方程为：
x2+ =1 (x>0,y>0) y=2 (0设p(x0,y0),因p在c上，有0y=－ x－x0)+y0 设a(x,0)和b(0,y),由切线方程得 x= ,y=
由= +得m的坐标为(x,y), 由x0,y0满足c的方程，得点m的轨迹方程为：
=1 (x>1,y>2)
ⅱ)|2= x2+y2, y2= =4+ ,
| |2= x2－1++5≥4+5=9 且当x2－1= ,即x=>1时，上式取等号
故||的最小值为3
研讨欣赏】(2006湖北) 设x=3是函数f(x)=(x2+ax+b)e3-x(x∈r)的一个极值点．
1）求a与b的关系式（用a表示b），并求f(x)的单调区间；
2）设》0， =若存在使得||<1成立，求的取值范围．
解：（1）
由f′(3)=0得。
所以。令f′(x)=0得。
由于x=3是f(x)的极值点，故x1≠x2，即a≠-4
当时，，故f(x)在上为减函数，在上为减函数，在上为增函数。
当a>4时，x1>x2，故f (x)在(－∞a－1]上为减函数，在[－a－1,3]上为增函数，在[3,+∞上为减函数．
2）当a>0时，－a－1<0，故f(x)在[0,3]上为增函数，在[3,4]上为减函数，在[3,+∞上为减函数。
因此f(x)在[0,4]上的值域为。
而在[0,4]上为增函数，所以值域为。
注意到，故由假设知解得。
故的取值范围是。
考查知识：函数、不等式和导数的应用知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．
五．提炼总结以为师。
1．利用导数求解不等式问题的核心是利用导数判定函数的单调性，这就转化为一般的函数问题；
2．利用导数证明不等式有两种方法：
3．导数是研究函数问题的工具，注意它在其它数学问题中的综合与应用。
同步练习 11．5 导数的综合应用
选择题】1某物体作s=2（1－t）2的直线运动，则t=0．8 s时的瞬时速度为 (
a．4b．－4c－4．8d－0．8
2．已知函数f（x）=x4－4x3+10x2，则方程f（x）=0在区间［1，2］上的根有。
a．3个b．2个c．1个d．0个。
3．若f(x)是在（－l，l）内的可导的偶函数，且不恒为0，则（ ）
a）必定是（－l，l）内的偶函数
b）必定是（－l，l）内的奇函数。
c）必定是（－l，l）内的非奇非偶函数
d）可能是（－l，l）内的奇函数，可能是偶函。
4．已知的值是 （
a． b．0 c．8d．不存在。
填空题】5．曲线y=上的点到直线2x－y+3=0的最短距离为
6设底为等边三角形的直棱柱的体积为v，那么其表面积最小时，底面边长为___
简答．提示：1－4．ddbc;
2．（x）=4x（x2－3x+5）在［1，2］上，（x）>0，f（x）在［1，2］上单调递增．∴f（x）≥f（1）=7．
f（x）=0在［1，2］上无根．答案：d
3．由f(－x)=f(x)，求导得．
4．，5．; 6．设底面边长为x，则高为h=，s表=3×x+2×x2=+x2
s′=－x令s′=0，得x=．答案：
解答题】7． 已知x∈r,求证：ex≥x+1．
证明：设f（x）=ex－x－1,则f′（x）=ex－1．
当x=0时，f′（x）=0,f（x）=0．
当x＞0时，f′（x）＞0,∴f（x）在（0,+∞上是增函数．∴f（x）＞f（0）=0．
当x＜0时，f′（x）＜0,f（x）在（－∞0）上是减函数，∴f（x）＞f（0）=0．
对x∈r都有f（x）≥0．∴ex≥x+1．
8．（2006江西）已知函数在与时都取得极值．
1）求、的值及函数f(x)的单调区间；
2）若对x∈[-1,2],不等式f(x)解：
f/(x)=3x2－x－2=(3x－2)(x-1),函数f(x)的单调区间如下表：
所以函数f(x)的递增区间为与；
递减区间为．
9．（2006重庆）已知函数f(x)=(x2+bx+c)ex，其中b,c∈r为常数。
ⅰ）若b2>4(c-1)，讨论函数f(x)的单调性；
ⅱ）若，且，试证：。
解（i）求导得f/(x)=[x2+(b+2)x+b+e]ex
b2>4(c-1)故方程f/(x)=0 即 x2+(b+2)x+b+e=0有两个实根。
令f/(x)>0,解得xx2．
导数的应用高二理
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