导数的应用。
---利用导数证明不等式。
教学目标：1、进一步熟练并加深导数在函数中的应用并学会利用导数证明不等式。
2、培养学生的分析问题、解决问题及知识的综合运用能力；
教学重点：利用导数证明不等式。
教学难点：利用导数证明不等式。
教学过程：一、复习回顾。
1、利用导数判断函数的单调性；
2、利用导数求函数的极值、最值；
二、新课引入。
引言：导数是研究函数性质的一种重要工具．例如：求函数的单调区间、求函数的最大（小）值、求函数的值域等等．然而，不等式是历年高考重点考查的内容之一。
尤其是在解答题中对其的考查，更是学生感到比较棘手的一个题。因而在解决一些不等式问题时，如能根据不等式的特点，恰当地构造函数，运用导数证明或判断该函数的单调性， 出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题．然后用函数单调性去解决不等式的一些相关问题，可使问题迎刃而解。 因此，很多时侯可以利用导数作为工具得出函数性质，从而解决不等式问题． 下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用．
三、新知**。
1、利用导数得出函数单调性来证明不等式。
例1：当x>0时，求证：x＜ln(1+x) .
证明：设f(x)= x－ln(1+x) (x>0), 则f (x)=．
x>0,∴f (x)<0,故f(x)在（0，+∞上递减，所以x>0时，f(x)小结：把不等式变形后构造函数，然后用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的．
随堂练习：课本p32：b组第一题第3小题。
2、利用导数解决不等式恒成立问题（掌握恒成立与最值的转化技巧；构造函数证明不等式）
例２．已知函数。
1)若f(x)在r上为增函数，求a的取值范围；
2)若a=1,求证：x＞0时，f(x)>1+x
解：(1)f′(x)＝ aex－ｘ，在ｒ上为增函数，∴f′(x)≥０对ｘ∈ｒ恒成立，即ａ≥ｘ对ｘ∈ｒ恒成立。
记则1-x)e-x，当ｘ＞１时，ｇ′当ｘ＜１时，ｇ′
知ｇ（ｘ在(-∞1)上为增函数，在(1,+ 上为减函数，
g(x)在x=1时，取得最大值，即g(x)max=g(1)=1/e, ∴a≥1/e,即a的取值范围是[1/e, +
2)记f(x)=f(x) －1+x) =
则f′(x)=ex-1-x,令h(x)= f′(x)=ex-1-x,则h′(x)=ex-1
当x>0时， h′(x)>0, ∴h(x)在(0,+ 上为增函数，又h(x)在x=0处连续， ∴h(x)>h(0)=0
即f′(x)>0 ,∴f(x) 在(0,+ 上为增函数，又f(x)在x=0处连续，
f(x)>f(0)=0,即f(x)>1+x．
小结：当函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把不等式的恒成立问题可转化为求函数最值问题．不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为(或)恒成立，于是大于的最大值（或小于的最小值），从而把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题．因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法．
例3．（2023年全国）已知函数。
1) 求函数的最大值；
2) 设，证明 ：.
分析：对于（ii）绝大部分的学生都会望而生畏。学生的盲点也主要就在对所给函数用不上。
如果能挖掘一下所给函数与所证不等式间的联系，想一想大小关系又与函数的单调性密切相关，由此就可过渡到根据所要证的不等式构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，借助单调性比较函数值的大小，以期达到证明不等式的目的。证明如下：
证明：对求导，则。
在中以b为主变元构造函数，设，则。
当时，,因此在内为减函数。
当时， ,因此在上为增函数。
从而当时，有极小值。
因为所以，即。
又设。则。当时，.因此在上为减函数。
因为所以，即。
综上结论得证。
对于看起来无法下手的一个不等式证明，对其巧妙地构造函数后，运用导数研究了它的单调性后，通过利用函数的单调性比较函数值的大小，使得问题得以简单解决。
四、课堂小结。
1、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题，关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的；
2、利用导数解决不等式恒成立问题，应特别注意区间端点是否取得到；
3、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式；
总之，无论是证明不等式，还是解不等式，我们都可以构造恰当的函数，利用到函数的单调性或最值，借助导数工具来解决，这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现．
5、思维拓展。
设函数。1）求的最值；（2）判断函数上的单调性；
3）对任意的a，b∈r+，且，比较的大小。
22．（1），∴又，∴是r上的递增函数。
时，时，有最小值。 无最大值。
说明：此小题若考生不求二阶导数，而是对x的取值范围进行讨论得出相应结果，则也给予相应的分值）
2）∵，由（1）可知当时，，∴在上为增函数。
3）记，则，当时，，当时，在上有最小值，而且，∴，即。
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