注：课堂安排整体上计划用时140分钟（学习120分钟，休息20分钟），若学生基础较差，则最后的生活中的优化问题暂时不给于指导，则前面五块内容共计划花时110分钟；若学生基础较好，则前面两块内容快速带过，直接进入导数的应用部分，计划用时120分钟。
例题解析和随堂练习加起来共17道题。
一、 变化率与导数、导数的计算。
基础知识梳理】
1、函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率。
函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为，若，则平均变化率可表示为。
瞬时变化率就是对平均变化率求极限。
2、函数y=f(x)在x=x0处导数。
1）定义。称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率。
为y=f(x)在x=x0处导数，记作。
注：与的区别：
在对导数的概念进行理解时，特别要注意与是不一样的，代表函数在处的导数值，不一定为0；而是函数值的导数，而函数值是一个常量，其导数一定为0，即=0。
3、函数f(x)的导函数。
称函数为函数f(x)的导函数，导函数有时也记作。
注：求函数f(x)在x=x0处的导数的方法：
方法一：直接使用定义；;
方法二：先求导函数，再令x=x0求。
课堂互动练习】
一）利用导数的定义求函数的导数。
1、相关链接。
1）根据导数的定义求函数在点处导数的方法：
求函数的增量；
求平均变化率；
得导数，简记作：一差、二比、三极限。
2）函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数。
2、例题解析。
例1〗求函数y=的在x=1处的导数。
解析： 例2〗一质点运动的方程为。
1） 求质点在[1，1+δt]这段时间内的平均速度；
2） 求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求求导两种方法）
分析（1）平均速度为；
2）t=1时的瞬时速度即在t=1处的导数值。
解答：（1）∵
δs=8-3(1+δt)2-(8-3×12)=-6δt-3(δt)2,2）定义法：质点在t=1时的瞬时速度。
求导法：质点在t时刻的瞬时速度。
当t=1时，v=-6×1=-6.
注：导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系。对位移s与时间t的关系式求导可得瞬时速度与时间t的关系。
根据导数的定义求导数是求导数的基本方法，请按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求。
基础知识梳理】
4、基本初等函数的导数公式。
5、导数运算法则。
注：函数求导的原则：
对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误。
课堂互动练习】
二）导数的运算。
1、相关链接。
1）运用可导函数求导法则和导数公式，求函数在开区间（a,b）内的导数的基本步骤：
分析函数的结构和特征；
选择恰当的求导法则和导数公式求导；
整理得结果。
2）对较复杂的函数求导数时，诮先化简再求导，特别是对数函数真数是根式或分式时，可用对数的性质转化真数为有理式或整式求解更为方便。
2、例题解析。
例〗求下列函数的导数。
思路分析：本题考查导数的有关计算，借助于导数的计算公式及常见的初等函数的导数，可以容易求得。
解答：(1)方法一：由题可以先展开解析式然后。
再求导：y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1，y′=(6x3+2x2-3x-1)′
(6x3)′+2x2)′-3x)′=18x2+4x-3.
方法二：由题可以利用乘积的求导法则进行求导：
y′=(2x2-1)′(3x+1)+(2x2-1)(3x+1)′
4x(3x+1)+3(2x2-1)=12x2+4x+6x2-3
18x2+4x-3.
2)根据题意把函数的解析式整理变形可得：
3)根据求导法则进行求导可得：
y′=(3xex)′-2x)′+e′=(3x)′ex+3x(ex)′-2x)′=3xln3·ex+3xex-2xln2=(3e)xln3e-2xln2
4)根据题意利用除法的求导法则进行求导可得：
规律总结：一般说来，分式函数求导，要先观察函数的结构特征，可化为整式函数或较为简单的分式函数；对数函数的求导，可先化为和、差的形式；三角函数的求导，先利用三角函数公式转化为和或差的形式。
误区警示：(1)运算过程出现失误，原因是不能正确理解求导法则；(2)特别是商的求导法则，求导过程中符号判断不清，也是导致错误的原因．
基础知识梳理】
三）切线的求解。
1、相关链接。
1）导数的几何意义。
函数f(x)在点x处的导数的几何意义是在曲线y=f(x)上点（，）处的切线的斜率。相应地，切线方程为y-y0= (x=x0).
思考：曲线在点p处的切线和曲线过点p的切线有何不同？
思考·提示】 前者p为切点；后者点p可以是切点也可以不是。一般曲线的切线与曲线可以有一个或一个以上的公共点。
2）曲线的切线的求法。
若已知曲线过点p(x0，y0)，求曲线的切线则需分点p(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．
1)点p(x0，y0)是切点的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
2)当点p(x0，y0)不是切点时可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标p′(x1，f(x1))．
第二步：写出过p′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)．
第三步：将点p的坐标(x0，y0)代入方程求出x1.
第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点p(x0，y0)的切线方程．
注：此处的求法总结应该在解完例题后，让学生自我归纳，教师再给予适当的点播。
课堂互动练习】
例】已知曲线，1） 求曲线在点p(2,4)处的切线方程；
2） 求曲线过点p(2,4)的切线方程；
3） 求斜率为4的曲线的切线方程。
思路分析：“该曲线过点p(2，4)的切线方程”与“该曲线在点p(2，4)处的切线方程”是有区别的：过点p(2，4)的切线中，点p(2，4)不一定是切点；在点p(2，4)处的切线，点p(2，4)是切点。
思路点拨：首先要判断已知点是否在曲线上，再根据切线的斜率即导数值列方程解决问题．
解答：（1）上，且。
在点p(2,4)处的切线的斜率k==4;
曲线在点p(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.
2）设曲线与过点p(2,4)的切线相切于点a（x0，），则切线的斜率，∴切线方程为（）=即。
点p(2,4)在切线上，∴4=2，即，∴，x0+1）(x0-2)2=0
解得x0=-1或x0=2
故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.
3）设切点为（x0,y0）
则切线的斜率为k=x02=4, x0=±2.切点为（2，4），（2，-4/3）
切线方程为y-4=4(x-2)和y+4/3=4(x+2)
即4x-y-4=0和12x-3y+20=0
注：(1)求函数f(x)图象上点p(x0,f(x0))处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率k，由导数的几何意义知k=f′(x0)，故当f′(x0)存在时，切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).
2)要深入体会切线定义中的运动变化思想：①两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重合(切点)；②割线→切线。
2、即时巩固。
已知函数的图像在点处的切线方程为，求函数f(x)的解析式。
二、导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题。
基础知识梳理】
1、函数的单调性与导数。
在某个区间（a,b）内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减。如果，那么函数在这个区间上是常数函数。即如图所示：
注：函数在（a,b）内单调递增，则，是在（a,b）内单调递增的充分不必要条件。
一）利用导数研究函数的单调性。
随堂互动训练】
1、相关链接。
1）求可导函数单调区间的一般步骤和方法，如下图：
即：确定函数f(x)的定义域；
求f’(x) ，令f’(x)=0，求出它们在定义域内的一切实根；
把函数f(x)的间断点（即f(x)无定义点）的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间。
确定f’(x)在各个开区间内的符号，根据f’(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性。
注：当f(x)不含参数时，也可通过解不等式f’(x)>0（或f’(x)<0）直接得到单调递增（或递减）区间。
2）证明可导函数f(x)在（a,b）内的单调性的步骤。
求f’(x);
确认f’(x)在（a,b）内的符号；
作出结论：f’(x)>0时为增函数；f’(x)<0时为减函数。
3）已知函数的单调性，求参数的取值范围，应注意函数f(x)在（a,b）上递增（或递减）的充要条件应是f’(x)≥0（或f’(x)≤0），x∈（a,b）恒成立，且f’(x) 在（a,b）的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f’(x) =0，甚至可以在无穷多个点处f’(x0) =0，只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间。
2、例题解析。
例1】(2011·北京模拟)若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围。
思路解析：函数f(x)存在单调减区间，就是不等式f′(x)≤0有实数解，考虑到函数的定义域为(0,+∞所以本题就是要求f′(x)≤0在(0,+∞上有实数解。
解答：f′(x)= ax-2=.因为函数f(x)存在单调递减区间，所以f′(x)≤0有解。又因为函数的定义域为(0,+∞则ax2+2x-1≥0在x∈(0,+∞内有解。
1)当a＞0时，y=ax2+2x-1为开口向上的抛物线，ax2+2x-1≥0,总可以找到x＞0的解；
2)当a＜0时，y=ax2+2x-1为开口向下的抛物线，要使ax2+2x-1≥0总有大于0的解，则δ=4+4a≥0且方程ax2+2x-1=0至少有一个正根，此时-1≤a＜0.
3)当a=0时，显然符合题意。
综上所述，实数a的取值范围是［-1,+∞
3、即时巩固。
1.函数f(x)=loga(3x2+5x－2)(a＞0且a≠1)的单调区间。
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