八年级数学竞赛练习卷

1．（20分）生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条的反面）：如果由信纸折成的长方形纸条（图①）长为26cm，宽为xcm，分别回答下列问题：

1）为了保证能折成图④的形状（即纸条两端均超出点p），试求x的取值范围；

2）如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点p的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点m与点a的距离（用x表示）

2.（30分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：

如图1，在等腰直角△abc中，ab=ac，∠bac=90°，小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在a上，从ab边开始绕点a逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线bc于点d，直角边所在的直线交直线bc于点e．

1）小敏**段bc上取一点m，连接am，旋转中发现：若ad平分∠bam，则ae也平分∠mac．请你证明小敏发现的结论；

2）当0°＜α45°时，小敏在旋转中还发现线段bd、ce、de之间存在如下等量关系：bd2+ce2=de2．

同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决；小颖的想法：将△abd沿ad所在的直线对折得到△adf，连接ef（如图2）

小亮的想法：将△abd绕点a顺时针旋转90°得到△acg，连接eg（如图3）；

小敏继续旋转三角板，在**中得出当45°＜α135°且α≠90°时，等量关系bd2+ce2=de2仍然成立，先请你继续研究：当135°＜α180°时（如图4）等量关系bd2+ce2=de2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．