第一章：证明(二)
本章主要考查对命题、定理等概念的理解及运用定义、定理证明问题的过程，在中考题中以证明题的形式出现，一般占5～7分，因此同学们在复习时应注意认真理解概念，分清题目的条件和结论，正确地写出证明过程。
★★★i)考点突破★★★
考点1：利用定理证明。
一、考点讲解：
公理1、一直线截两条平行线所得的同位角相等，公理2．两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，那么这两条直线平行．
公理3．若两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分别相等，则这两个三角形全等．
公理4．全等三角形的对应边相等，对应角相等．
定理1. 平行线的性质定理：两直线平行，同位角、内错角相等，同旁内角互补．
定理2．平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补两直线平行．
定理3．三角形的内角和定理及推论：三角形的内角和等于180°，三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角．
定理4．直角三角形全等的判断定理：有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等．
定理5．角平分线性质定理及逆定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；三角形的三条角平分线相交于一点（内心）
定理6．垂直平分线性质定理及逆定理：线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等；到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；三角形的三边的垂直平分线相交于一点（外心）
定理7．三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
定理8、等腰三角形，等边三角形，直角三角形的性质和判定定理．
二、经典考题剖析：
例1：如图l－l－1，ab、cd交于点e，ad=ae，cb=ce，f、g、h分别是de、be、ac的中点．
1）求证：af⊥de；（2）求证：fh= gh．
例2： 在△abc中，∠acb=90°，ac=bc，直线mn经过点c，且ad⊥mn于d，be⊥mn于e.(1)当直线mn绕点c旋转到图1的位置时，求证：
①△adc≌△ceb；②de=ad+be；
(2)当直线mn绕点c旋转到图2的位置时，求证：de=ad-be；
(3)当直线mn绕点c旋转到图3的位置时，试问de、ad、be具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。
3、针对性训练：
1．如图1－1－4，rt△abc中，ac≠ab，ad是斜边上的高；de⊥ab，df⊥ac，垂足分别是e、f，则图中与∠c（除∠c外）相等的角的个数是（ ）
a．2 b．3 c．4 d．5
2．如图1－1－5，△abc中，△abc和△acb的外角平分线交于点o，设∠boc=α，则∠a等于（）
3．如图1－1－7，△abc是直角三角形，bc是斜边， △abp绕点a逆时针旋转后，能与△acp重合， 如果ap=3，那么pp′的长等于（ ）
a．3 b．2 c．3 d．4
4．如图1－1－8，在rt△abc中，∠bca=90°，点d、e、f分别是三边的中点，且cf=2 cm，则decm．
5、如图1－1－9，在△abc和△def中，已知ab=de，要使△abc≌△def，根据三角形全等的判定定理，还需添加条件填上你认为正确的一种）．
6．在方格纸上有一个△abc，它的顶点位置如图 1－1－10所示，则这个三角形是___三角形．
8．如图1－1－1 所示，把△abc绕点c顺时针旋转 35°，得δa′b′c′交ac于点d，若∠a′dc =90o，则∠a
9．如图1－l－12，△abc中，ab=ac，de是ab的中垂线，△bce的周长为14，bc=6，则ab长为
10 如图1－1－13，在△abc中，∠bac=90 在，延长 ba 到d，使ad=ab，点e、f分别为边bc、ac的中点．（1）求证：df=be；（2）过点a作ag∥bc，交 df于点 g，求证：ag=dg．
考点2：命题。
一、考点讲解：
1．命题的组成：命题由条件和结论两部分组成．
2．命题的形式：命题的形式通常写成“如果……，那么……”的形式．
3．真命题与假命题：正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题（注：真命题的逆命题不一定是真命题〕
二、经典考题剖析：
例1：请用“如果…，那么……”的形式写一个命题。
例2：如图1－1－14，下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题。
ae=ad ②ab=ac ③ob=oc ④∠b=∠c（只需写出一种情况）
例3：下列命题中，假命题是（ ）
a．平行四边形的对角线互相平分 b．矩形的对角线相等。
c．等腰梯形的对角线相等d．菱形的对角线相等且互相平分。
3、针对性训练：
1．下列命题中，真命题是（ ）
a．面积相等的两个三角形是全等三角形 b．有两边及一组对应角相等的两个三角形全等。
c．全等三角形的周长相等d．有一条直角边对应相等的两个三角形全等。
2．下列命题中正确的是（ ）
a．实数是有理数b．无限小数是无理数
c．数轴上的点与有理数一一对应d．数轴上的点与实数一一对应。
3．下列命题为假命题的是（ ）
a．等腰三角形的两腰相等b．等腰三角形的两底角相等。
c．等腰三角形底边上的中线与底边上的高重合 d．等腰三角形是中心对称图形。
4．下列的真命题中，它的逆命题也是真命题的是（）
a．全等三角形的对应角相等
b．两个图形关于轴对称，则两个图形是全等形。
c．等边三角形是锐角三角形
d．直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
5．如图1－1－15，在△abc中，cd⊥ ab，请你添加一个条件，写出一个正确的结论（不在图中添加辅助线）
条件结论。★★新课标中考体验★★★
1.（2005、杭州）如图1－1－22,在等腰中，ac=bc,以斜边ab为一边作等边，使点c,d在ab的同侧；再以cd为一边作等边，使点c,e落在ad的异侧。若ae=1,则cd的长为（）
a) (b) (c) (d)
2.（2005、温州，14分 ）如图，在rt△abc中，已知ab＝bc＝ca＝4cm，ad⊥bc于d，点p、q分别从b、c两点同时出发，其中点p沿bc向终点c运动，速度为1cm/s；点p沿ca、ab向终点b运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x(s)。
、求x为何值时，pq⊥ac；
、设△pqd的面积为y(cm2)，当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式；
、当0＜x＜2时，求证：ad平分△pqd的面积；
、探索以pq为直径的圆与ac的位置关系。请写出相应位置关系的x的取值范围(不要求写出过程)
3.（2005、衢州，9分）已知：如图1－1－24，ag∥bc，de∥ag，gf∥ab，点e为ac的中点，求证：de=fc
4.（2005、衢州，14分）已知：如图1－1－25， △abc中，∠b=90°，∠bad=∠acb,ab=2，bd=l，过点d作dm⊥ad交ac于点m，dm的延长线与过点c的垂线交于点p．
(1)求sin∠acb的值； (2)求mc的长； (3)若点q以每秒1个。
单位的速度由点c向点p运动，是否存在某一时刻t，使四边形adqp的面积。
等于四边形abcq的面积；若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由
5（2005、重庆）如图，在△abc中，点e在bc上，点d在ae上，已知∠abd＝∠acd,∠bde＝∠cde．
求证：bd＝cd
回顾7】（2005、临沂）
等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30。，则顶角的度数为（ ）
(a)60 (b)120 (c)60或50 (d)60或120
回顾8】（2005、临沂）已知△abc，(1)如图1－1－27，若p点是abc和acb的角平分线的交点，则p=；
2)如图1－1－28，若p点是abc和外角ace的角平分线的交点，则p=；
3)如图1－1－29，若p点是外角cbf和bce的角平分线的交点，则p=。
回顾9】（2005、上海，3分）在下列命题中，真命题是（ ）
a．两个钝角三角形一定相似。
b．两个等腰三角形一定相似。
c．两个直角三角形一定相似。
d．两个等边三角形一定相似。
回顾10】（2005、长沙）下列说法中，正确的是（ ）
a．等腰梯形既是中心对称图形又是轴对称图形。
b．正方形的对角线互相垂直平分且相等。
c．矩形是轴对称图形且有四条对称轴。
d．菱形的对角线相等。
回顾11】（2005、扬州，10分）如图1－1－30，在。
△abc和△def中，b、e、c、f在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个作为题设，余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明．
①ab=de，②ac=df，③∠abc＝∠def，④be＝cf．
已知：求证：
证明：回顾12】（2005、自贡，6分）如图1－1－31，内宜高速公路oa和自雅路ob在我市相交于点o，在∠aob的内部有五宝和正紫两个镇c、d，若要修一个大型农贸市场p，使p到oa、ob的距离相等，且使pc=pd，用尺规作出市场p的位置（不写作法，保留作图痕迹）
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