高三数学周测 3 文科

8．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值为答案：12

9．函数的单调递减区间是答案：(0，1]

10．若函数f(x)＝x3－mx2＋m－2在区间为(0,3) 上单调递减，则m的取值范围是。

答案] 三、解答题(共4题，共50分)

11．（10分）用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，求该长方体的体积最大值。

答案] 3m3

设长方体的宽为x m，则长为2x m，高为－3x m (0v＝2x2＝－6x3＋9x2 （0v′＝－18x2＋18x，令v′＝0得，x＝0或1;令v′>0解得：0即：v在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，故函数在x＝1取得极大值即最大值。

该长方体的长、宽、高各为2m、1m、1.5m时，体积最大，最大体积vmax＝3m3.

12.（12分）已知函数f(x)＝a lnx＋＋x(a>0)．若函数y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与。

直线x－2y＝0垂直．

1)求实数a的值； (2)求函数f(x)的单调区间．

解析] (1)f ′(x)＝－1，f ′(1)＝－2，∴2a2－a－3＝0，a>0，∴a＝.

2)f ′(x)＝－1＝＝，当x∈(0，)时，f ′(x)<0；当x∈(，时，f ′(x)>0，f(x)的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，＋

13.（14分）

设函数，其中常数，求的单调区间。

解：f′(x)＝x2－2(1＋a)x＋4a＝(x－2)(x－2a)，若a＞1时，令f′(x)＞0，解得：x＜2或x＞2a；令f′(x)＜0，解得：2＜x＜2a；

若a<1时，令f′(x)＞0，解得：x＜2a或x＞2；令f′(x)＜0，解得：2 a＜x＜2；

若a=1时，令f′(x) =x－2) 2≥0；

综上：当a＞1时，f(x)单调增区间为(－∞2)和 (2a，＋∞减区间为(2，2a)

若a<1时，f (x)单调增区间为(－∞2 a)和 (2，＋∞减区间为(2 a，2)；

若a=1时，f (x)增区间为r,无减区间。

14．（14分）已知x＝2是函数f(x)＝x3－bx2＋2x＋a的一个极值点．

1)求函数f(x)的单调区间；

2)若当x∈[1，＋∞时，f(x)－＞a2恒成立，求实数a的取值范围．

解析：(1)∵f′(x)＝x2－2bx＋2，且x＝2是f(x)的一个极值点，f′(2)＝4－4b＋2＝0，解得b＝，f′(x)＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．

由f′(x)＞0得x＞2或x＜1，函数f(x)的单调增区间为(－∞1)，(2，＋∞

由f′(x)＜0得1＜x＜2，函数f(x)的单调减区间为(1,2)．

2)由(1)知，函数f(x)在(1,2)上单调递减，在(2，＋∞上单调递增，当x＝2时，函数f(x)取得极小值也是最小值，故f(x)min＝f(2)＝a＋.

当x∈[1，＋∞时，f(x)－＞a2恒成立等价于a2＜f(x)min－，即a2－a＜0，∴0＜a＜1.

故实数a的取值范围是(0,1)．

附加题：已知函数f(x)＝x2＋alnx.

1)当a＝－2e时，求函数f(x)的单调区间和极值．

2)若函数g(x)＝f(x)＋在[1,4]上是减函数，求实数a的取值范围．

解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞

当a＝－2e时，f′(x)＝2x－＝.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：

f(x)的单调递减区间是(0，)；单调递增区间是(，＋极小值是f()＝0.

2)由g(x)＝x2＋alnx＋，得g′(x)＝2x＋－，又函数g(x)＝x2＋alnx＋为[1,4]上的单调减函数，则g′(x)≤0在[1,4]上恒成立，即不等式2x＋－≤0在[1,4]上恒成立，即a≤－2x2在[1,4]上恒成立．

设φ(x)＝－2x2，显然φ(x)在[1,4]上为减函数，所以φ(x)的最小值为φ(4)＝－

所以a的取值范围是。