第二节函数内容。
1、回顾引入（10min）
函数是高中数学七大主干知识之一，又是沟通代数﹑方程﹑不等式﹑数列、三角函数、解析几何、导数等内容的桥梁，同时也是今后进一步学习高等数学的基础。函数的学习过程经历了直观感知、观察分析、归纳类比、抽象概括等思维过程，通过学习可以提高了学生的数学思维能力。
学习目标：1）了解构成函数的要素；
（2）会求一些简单函数的定义域和值域；
3）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；
2、知识解析（35min）
1．函数及其表示。
1）函数的定义。
设集合a是一个非空的数集，对a中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合a上的一个函数．记作。函数的本质含义是定义域内任一x值，必须有且仅有惟一y值与之对应．
2）函数的定义域与值域。
函数的定义中，自变量x取值的范围叫做这个函数的定义域；
所有函数值构成的集合叫做这个函数的值域；
确定一个函数的两个要素：定义域和值域，对应法则。函数好比数的加工厂，定义域是加工范围，值域是产品系列，f是加工手段。
3）函数的表示法。
列表法，图象法，解析法（图象法和解析法是考查的重点）。
4）映射的概念。
设a，b是两个非空的集合，如果按照某种对应法则f，对a中的任意一个元素x，在b中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合a到集合b的映射。这时，称y是x在f作用下的象，记作f(x)，于是y＝f(x),x称作y的原象。
映射f也可记为 f:a→b x→f(x)
其中a叫做映射f的定义域，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域。
2、函数的基本性质。
1）单调性。
a.定义：对于给定区间d上的函数f(x)，对于d上的任意两个自变量x1,x2，当x1f(x2)， 则称f(x)在区间d是上减函数。
b.判断函数单调性的常用方法：
定义法：设x1,x2∈[a,b],x1≠x2那么(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0可以推出f(x)在[a,b]上是增函数；反之是减函数。
导数法：设f(x)在某个区间内可导，如果f’(x)>0，则f(x)为增函数；如果f’(x)<0，则为减函数。
利用符合函数单调性：
如果f(x)和g(x)都是增(或减)函数，则在公共定义域内f(x)+g(x)是增(或减)函数；
f(x)增g(x)减，则f(x)-g(x)是增函数；f(x)减g(x)增，则f(x)-g(x)是减函数。
c.基本初等函数的单调性：
一次函数y=kx+b: 当k>0时，在r上是增函数；
当k<0时在r上是减函数；
二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0):
当a>0时，在(-∞b/2a)上是减函数；在(-b/2a,+∞上是增函数；
当a<0时，在(-∞b/2a)上是增函数；在(-b/2a,+∞上是减函数。
反比例函数y=k/x:
当k>0在(-∞0)上是减函数，在(0,+∞上是减函数；当k<0在(-∞0)上是增函数，在(0,+∞上是增函数。
指数函数y=a^x(a>0,a≠1):
当a>1在r上是增函数；当0（2）函数的最值。
对于函数y=f(x)，设定义域为a，则。
a.如果存在实数m，使得对于任意的x∈a，恒有f(x)<=m成立，且存在x0∈a，使得f(x0)=m,则称f(x0)是函数f(x)的最大值。
b.如果存在实数m，使得对于任意的x∈a，恒有f(x)>=m成立，且存在x0∈a，使得f(x0)=m,则称f(x0)是函数f(x)的最小值。
3）奇偶性。
a.偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
b.奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
注意：函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）；
偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称。
4）周期性。
a.定义：若t为非零常数，对于定义域内的任一x，使f(x)=f(x+t) 恒成立，则f(x)叫做周期函数，t叫做这个函数的一个周期（t的整数倍也是函数的一个周期）。
b.最小正周期：
对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期。
3、函数图像的画法。
1）基本方法：
步骤，列表、描点、连线，当函数图像无法知道时，此法较适用。
2）平移法：
由基本函数图像为模型，进行左右平移，上下平移。
3）利用对称性画图：
偶函数关于y轴对称，奇函数关于原点对称；利用原函数与其反函数之间的关系，关于y=x轴对称。
4、拓展。常见函数定义域的求法。
1)函数实质上就是数集上的一种映射，即函数是一种特殊的映射，而映射可以看作函数概念的推广；
2)函数图象的特征：与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点．利用这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象；
3)分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成，同时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同的地方不能有两个及两个以上的点。
3、随堂练习（30min）
1）选择题。
函数f(x)＝的定义域为( )
a．(－3,0] b．(－3,1]
c．(－3)∪(3,0] d．(－3)∪(3,1]
答案 a解析 (1)由题意知 1－2x≥0，x＋3>0，解得－3函数f(x)＝的定义域是( )
a．(－1，＋∞b．[－1，＋∞
c．(－1,1)∪(1，＋∞d．[－1,1)∪(1，＋∞
答案 c解析要使函数f(x)有意义，需满足x＋1>0且x－1≠0，得x>－1，且x≠1，故选c.
已知函数f(x)满足f(x)=f(π-x),且当x∈时，f(x)=e…^x+sin x,则( )
答案：d解析：由f(x)=f(π-x),得f(2)=f(π-2),f(3)=f(π-3),由f(x)=e^x+sin x得函数在上是增加的，又因为π-3<1<π-2《所以f(π-2)>f(1)>f(π-3),f(2)>f(1)>f(3).
2）填空题。
给出下列四个命题：
函数是其定义域到值域的映射；
f(x)＝是函数；
函数y＝2x(x∈n)的图象是一条直线；
函数的定义域和值域一定是无限集合。
其中真命题的序号有___
答案 ①②解析对于①函数是映射，但映射不一定是函数；对于②f(x)是定义域为，值域为的函数；对于③函数y＝2x(x∈n)的图象不是一条直线；对于④函数的定义域和值域不一定是无限集合。
有以下判断：
f(x)＝与g(x)＝表示同一函数；
函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；
f(x)＝x^2－2x＋1与g(t)＝t^2－2t＋1是同一函数；
若f(x)＝|x－1|－|x|，则f(f(1/2))＝0.
其中正确判断的序号是___
答案：②③解析对于①，由于函数f(x)＝的定义域为，而函数g(x)＝的定义域是r所以二者不是同一函数；
对于②，若x＝1不是y＝f(x)定义域内的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，如果x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；
对于③，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；
对于④，由于f(1/2)＝|1/2－1|－|1/2|＝0，所以f(f(1/2))＝f(0)＝1.
综上可知，正确的判断是②③。
3）解答题。
已知函数f(x)的定义域是(0，＋∞且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(1/2)＝1，如果对于0f(y)．
1)求f(1)的值；
2)解不等式f(－x)＋f(3－x)≥－2。
解析：（1）令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),f(1)=0
2)由题知法f(x)为（0，+∞上的减函数，且-x>0,3-x>0,所以x<0,f(xy)=f(x)+f(y),x、y∈（0，+∞且f（1/2）=1
所以f(-x)+f(3-x)>=2可化为。
f(-x)+f(3-x)>=2f(1/2),即f(-x)+f(1/2)+f(3-x)+f(1/2)=f(1),f(-1/2)+f((3-x)/2)>=f(1),即f(-x/2*(3-x)/2)>=f(1)
则，解得－1≤x<0.
不等式的解集为。
4、习题点评（12min）
5、课后作业（3min）
已知f(x)是为r上的减函数，则满足f(1/x)＞f(1)的实数x的取值范围是( )
a.(－1) b.(1，＋∞
c.(－0)∪(0，1) d.(－0)∪(1，＋∞
解析依题意得1/x＜1，即(x－1)/x＞0，解得x＜0或x＞1，所以x的取值范围是(－∞0)∪(1，＋∞
答案 d已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是( )
a．f(x)是偶函数。
b．f(x)是增函数。
c．f(x)是周期函数。
d．f(x)的值域为[－1，＋∞
答案】d解析】由函数f(x)的解析式知，f(1)＝2，f(－1)＝cos(－1)＝cos 1，f(1)≠f(－1)，则f(x)不是偶函数；
当x>0时，令f(x)＝x^2＋1，则f(x)在区间(0，＋∞上是增函数，且函数值f(x)>1；
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