高三文科数学测试(10)
命题人：张克修考试时间：2024年10月8日。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在数列中，a1＝3，且对于任意大于1的正整数n，点(an，an－1)在直线x－y－6＝0上，则a3－a5＋a7的值为。
a．27b．6c．81d．9
2．设sn是公差不为0的等差数列的前n项和，且s1，s2，s4成等比数列，则等于。
a．1b．2c．3d．4
3．记数列的前n项和为sn，且sn＝2n(n－1)+1，则该数列是。
a．公比为2的等比数列b．公差为2的等差数列。
c．公差为4的等差数列 d．以上都不对。
4．据科学计算，运载“神七”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程增加2 km，在到达离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是。
a．10秒钟b．13秒钟 c．15秒钟d．20秒钟。
5．设等差数列的公差d不为0，a1＝9d.若ak是a1与a2k的等比中项，则k＝
a．2b．4c．6d．8
6．已知数列的前n项的和（a是不为0的实数），那么 （
a. 一定是等差数列b. 一定是等比数列。
c.或者是等差数列，或者是等比数列
d.既不可能是等差数列，也不可能是等比数列。
7．在函数y＝f(x)的图象上有点列，若数列是等差数列，数列是等比数列，则函数y＝f(x)的解析式可能为。
a．f(x)＝2x＋1b．f(x)＝4x2c．f(x)＝log3x d．f(x)＝
8．在数列中，a1＝－2，an＋1＝，则a2 010＝
a．－2b．－
cd．39．在等差数列中，＜－1，若它的前n项和sn有最大值，则下列各数中是sn的最小正数的是。
a．s17b．s18c．s19d．s20
10．已知等比数列的各项均为不等于1的正数，数列满足bn＝lgan，b3＝18，b6＝12，则数列前n项和的最大值等于。
a．126b．130c．132d．134
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
11．设等比数列的前n项和为sn.若a1＝1，s6＝4s3，则a4
12．设数列的通项为an＝2n－7(n∈n*)，则|a1|＋|a2|＋…a15
13．若数列满足－＝d(n∈n*，d为常数)，则称数列为“调和数列”．已知数列{}为“调和数列”，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x3x18的最大值是___
14．已知sn是公差为d的等差数列的前n项和，且s6＞s7＞s5，则下列四个命题：①d＜0；②s11＞0；③s12＜0；④s13＞0中真命题的序号为___
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分10分)已知等差数列中，a2＝9，a5＝21.
1)求的通项公式；
2)令bn＝，求数列的前n项和sn.
16．(本小题满分12分)已知是等比数列的前n项和，成等差数列，判断是否成等比数列，并说明理由。
17.（本小题满分13分）某企业2024年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降，若不进行技术改造，**从2024年起每年比上一年纯利润减少20万元，2024年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，**在未扣除技术改造资金的情况下，第年（2024年为第一年）的利润为500（1+）万元（为正整数）.
1）设从2024年起的前年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元，进行技术改造后的累计纯利润为万元（须扣除技术改造资金），求的表达式；
2）依上述**，从2024年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
18．(本小题满分15分)已知单调递增的等比数列满足：a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2和a4的等差中项．
1)求数列的通项公式；
2)若bn＝，sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn，对任意正整数n，sn＋(n＋m)an＋1＜0恒成立，试求m的取值范围．
答案：一、选择题。
1．d2．a 由题意得an－an－1－6＝0，即an－an－1＝6，得数列是等差数列，且首项a1＝3，公差d＝6，而a3－a5＋a7＝a7－2d＝a5＝a1＋4d＝3＋4×6＝27.
3．c 由s1，s2，s4成等比数列，(2a1＋d)2＝a1(4a1＋6d)．
d≠0，∴d＝2a1.
4．d 由条件可得n≥2时，an＝sn－sn－1＝2n(n－1)－2(n－1)(n－2)＝4(n－1)，当n＝1时，a1＝s1＝0，代入适合，故an＝4(n－1)，故数列表示公差为4的等差数列．
5．c 设每一秒钟通过的路程依次为a1，a2，a3，…，an，则数列是首项a1＝2，公差d＝2的等差数列，由求和公式有na1＋＝240，即2n＋n(n－1)＝240，解得n＝15，故选c.
6．c 数列的前n项和sn＝3n－c，且c＝1，则an＝2×3n－1(n≥1)，从而可知c＝1是数列为等比数列的充要条件，故选c项．
7．b 因为ak是a1与a2k的等比中项，则a＝a1a2k，[9d＋(k－1)d]2＝9d·[9d＋(2k－1)d]，又d≠0，则k2－2k－8＝0，k＝4或k＝－2(舍去)．
8．b 由条件可得：a1＝－2，a2＝－，a3＝，a4＝3，a5＝－2，…，即是以4为周期的周期数列，所以a2 010＝a2＝－，故选b.
9．d 结合选项，对于函数f(x)＝x上的点列，有yn＝xn.由于是等差数列，所以xn＋1－xn＝d，因此＝＝xn＋1－xn＝d，这是一个与n无关的常数，故是等比数列．
10．c 由函数f(n)＝1＋(n∈n*)的单调性知，a1＞a2＞a3，且a4＞a5＞a6＞…＞0，又a1＝，a2＝，a3＝－1，a4＝3，故a3为最小项，a4为最大项，x＋y的值为7.
11．c ∵等差数列的前n项和sn有最大值，a1＞0，且d＜0，由＜－1得a10＞0，a11＜－a10，即a10＋a11＜0，s20＝10(a1＋a20)＜0，s19＝19a10＞0，又由题意知当n≥11时，an＜0，n≥11时，sn递减，故s19是最小的正数．
12．c 由题意可知，lga3＝b3，lga6＝b6.
又∵b3＝18，b6＝12，则a1q2＝1018，a1q5＝1012，q3＝10－6.
即q＝10－2，∴a1＝1022.
又∵为正项等比数列，为等差数列，且d＝－2，b1＝22.
故bn＝22＋(n－1)×(2)＝－2n＋24.
sn＝22n＋×(2)
－n2＋23n＝－2＋.又∵n∈n*，故n＝11或12时，(sn)max＝132.
二、填空题。
13．【解析】 设等比数列的公比为q，则由s6＝4s3知q≠1，s6＝＝.
q3＝3.∴a1q3＝3.
答案】 314．【解析】 |a1|＋|a2|＋…a15|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＋…＋23＝153.
答案】 153
15．【解析】 因为数列{}为“调和数列”，所以xn＋1－xn＝d(n∈n*，d为常数)，即数列为等差数列，由x1＋x2＋…＋x20＝200得＝＝200，即x3＋x18＝20，易知x3、x18都为正数时，x3x18取得最大值，所以x3x18≤()2＝100，即x3x18的最大值为100.
答案】 100
16．【解析】 解答本题要灵活应用等差数列性质．由已知条件。
即a6＞0，a7＜0，a6＋a7＞0，因此d＜0，①正确；
s11＝11a6＞0②正确；
s12＝＞0，故③错误；
s13＝＝12a7＜0，故④错误，故真命题的序号是①②.
答案】 ①三、解答题。
17．【解析】 (1)设数列的公差为d，由题意得。
解得a1＝5，d＝4，的通项公式为an＝4n＋1.
2)由an＝4n＋1得。
bn＝24n＋1，是首项为b1＝25，公比q＝24的等比数列．sn＝
18．【解析】 (1)证明：∵an＋1
sn＋1－sn
(an＋1＋2)2－(an＋2)2，8an＋1＝(an＋1＋2)2－(an＋2)2，(an＋1－2)2－(an＋2)2＝0，(an＋1＋an)(an＋1－an－4)＝0.
an∈n*，∴an＋1＋an≠0，an＋1－an－4＝0.
即an＋1－an＝4，∴数列是等差数列．
2)由(1)知a1＝s1＝(a1＋2)，解得a1＝2.∴an＝4n－2，bn＝an－30＝2n－31，由得。
n＜.∵n∈n*，∴n＝15，前15项为负值，以后各项均为正值．
s5最小．又b1＝－29，s15＝＝－225
19．【解析】 设第n天新感染人数最多，则从第n＋1天起该市医疗部门采取措施，于是，前n天流感病毒新感染者的人数，构成一个首项为20，公差为50的等差数列，其前n项和sn＝20n＋×50＝25n2－5n(1≤n＜30，n∈n)，而后30－n天的流感病毒新感染者的人数，构成一个首项为20＋(n－1)×50－30＝50n－60，公差为－30，项数为30－n的等差数列，其前30－n项的和t30－n＝(30－n)(50n－60)＋×30)＝－65n2＋2 445n－14 850，依题设构建方程有，sn＋t30－n＝8 670，∴25n2－5n＋(－65n2＋2 445n－14 850)＝8 670，化简得n2－61n＋588＝0，∴n＝12或n＝49(舍去)，第12天的新感染人数为20＋(12－1)·50＝570人．故11月12日，该市新感染此病毒的人数最多，新感染人数为570人．
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