高一数学必修四综合能力检测

本册综合能力检测。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)

1．在△abc中，sina·cosa＝－，则cosa－sina的值为( )

ab．±c. d．－

答案：d解析：由(cosa－sina)2＝1－2sinacosa＝，而在△abc中，因为sinacosa<0可知sina>0，cosa<0，∴cosa－sina＝－.

2．若|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，则a与b的夹角θ的余弦值( )

a．－ b.

c. d．－

答案：b解析：由|a＋b|＝，得：

7＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋4＋2×1×2cosθ，所以cosθ＝.

3．如图，在△abc中，＝，3，若＝a，＝b，则等于( )

a. a＋b b．－ a＋b

c. a＋b d．－ a＋b

答案：b解析：＝－a＝(＋a＝a－a＋＝－a＋×＝a＋(－a＋b－a＝b－a.

4．函数y＝logsin(－x)的单调递增区间是( )

a．[－b．[－

c．[－d．[8k－，8k＋)(k∈z)

答案：d解析：将原函数转化为y＝log [－sin(x－)]由复合函数的单调性可知，整个函数的单调递增区间就是y＝sin(x－)的递增区间，且sin(x－)<0.

5. 已知函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为[－1，]，则b－a的值不可能是( )

a. b.

c．π d.

答案：a解析：画出函数y＝sinx的草图分析知b－a的取值范围为[，]故选a.

6．化简式子的值是( )

a．sin2 b．－cos2

c. cos2 d．－ cos2

答案：d解析：将cos4运用倍角公式变形为1－2sin22，从而原式化为，再开方即得结果．

7．已知三点a(1,1)、b(－1,0)、c(0,1)，若和是相反向量，则点d的坐标是( )

a．(－2,0) b．(2,2)

c．(2,0) d．(－2，－2)

答案：b解析：设出d点的坐标(x，y)，写出向量和的坐标形式，根据它们是相反向量，可以列出关于x，y的方程组，从而得解．

8．函数y＝asin(ωx＋φ)a>0，ω>0)的部分图像如下图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…f(11)的值等于( )

a．2 b．2＋

c．2＋2 d．－2－2

答案：c解析：由图像可知，f(x)＝2sinx，其周期为8，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…f(11)

f(1)＋f(2)＋f(3)

2sin＋2sin＋2sin＝2＋2.

9．将函数y＝sin2x的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是( )

a．y＝2cos2x b．y＝2sin2x

c．y＝1＋sin(2x＋) d．y＝cos2x

答案：a解析：平移后所得的解析式为：

y＝sin2(x＋)＋1

1＋cos2x＝2cos2x.

10．a＝(cos2α，sinα)，b＝(1,2sinα－1)，α若a·b＝，则tan(α＋等于( )

a. b.

c. d.

答案：c解析：由题意得cos2α＋sinα(2sinα－1)＝，整理得sinα＝.又α∈(所以cosα＝－所以tanα＝－所以tan(α＋

11．如右图，向量＝a，＝b，且⊥，c为垂足，设向量＝λa(λ>0)，则λ的值为( )

ab. c. d.

答案：a解析：为在上的射影．故||＝a.

12．使f(x)＝sin(2x＋θ)cos(2x＋θ)为奇函数，且在[0，]上是减函数的θ的一个值是( )

a．－ b.

c. d.

答案：c解析：f(x)＝sin(2x＋θ)cos(2x＋θ)2sin(2x＋θ＋因为f(x)是奇函数，验证得b、d不成立；当θ＝－时，f(x)＝2sin2x，当x∈[0，]时，f(x)是增函数，a不成立；当θ＝时，f(x)＝2sin(2x＋π)2sin2x满足条件，故选c.

二、填空题(本大共4个小题，每小题5分，共20分)

13．已知向量＝(0,1)，＝k，k)，＝1,3)，且∥，则实数k

答案：－1解析：∵＝k，k－1)，＝1,2)，∥2k－(k－1)＝0，∴k＝－1.

14．[2011·江苏卷]已知tan(x＋)＝2，则的值为___

答案：解析：由tan(x＋)＝2，得tanx＝，tanx·＝＝

15．函数f(x)＝的值域是。

答案：(－解析：f(x)＝

cos＋sin，且cos－sin≠0，即sin≠cos，tan≠1，f(x)＝sin，x≠2kπ＋，k∈z.

≠kπ＋，kπ＋，sin≠±1，∴f(x)≠±

f(x)∈(

16．已知y＝sinx＋cosx，给出以下四个命题：

若x∈[0，π]则y∈[1，]；直线x＝是函数y＝sinx＋cosx图像的一条对称轴；③在区间[，]上函数y＝sinx＋cosx是增函数；④函数y＝sinx＋cosx的图像可由y＝cosx的图像向右平移个单位长度而得到．其中正确命题的序号为___

答案：②④解析：将函数变形后逐个判断正确与否．

y＝sinx＋cosx＝sin(x＋)．

若x∈[0，π]则x＋∈[得sin(x＋)∈1]，即y∈[－1，]，不正确；

记f(x)＝sin(x＋)，f(－x)＝sin(－x＋)＝sin(－x)＝sin[π－x＋)]sin(x＋)＝f(x)．从而直线x＝是函数y＝sinx＋cosx图像的一条对称轴，②是正确的；

由于函数y＝sin(x＋)是由y＝sinx向左平移个单位长度得到的，而函数y＝sinx在区间[，]上是单调递减的，从而函数y＝sin(x＋)在区间[，]上也应该是单调递减的，即命题③不正确；

函数y＝cosx的图像向右平移个单位长度得到函数y＝cos(x－)＝cos(－x)＝cos[－(x＋)]sin(x＋)，即函数y＝sinx＋cosx，从而命题④正确．

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知点a(－3，－4)、b(5，－12)．

1)求的坐标及||；

2)若＝＋，求及的坐标；

3)求·.解：(1)＝－8，－8)，|8.

18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝a·(b＋c)，其中向量a＝(sinx，－cosx)，b＝(sinx，－3cosx)，c＝(－cosx，sinx)，x∈r.

1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；

2)将函数y＝f(x)的图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d.

解：利用数量积的坐标运算将f(x)化简为一种角的三角函数形式后，再利用三角函数性质求解．

1)由题意得f(x)＝a·(b＋c)＝(sinx，－cosx)·(sinx－cosx，sinx－3cosx)＝sin2x－2sinxcosx＋3cos2x＝2＋cos2x－sin2x＝2＋sin(2x＋π)

故f(x)的最大值为2＋，最小正周期是＝π.

2)由sin(2x＋π)0得2x＋＝kπ.

即x＝－，k∈z.

于是d＝(－2)，|d|＝(k∈z)．

因为k为整数，要使|d|最小，则只要k＝1，此时d＝(－2)即为所求．

19．(本小题满分12分)[2011·广东卷]已知函数f(x)＝2sin(x－)，x∈r.

1)求f()的值；

2)设α、β0，]，f(3α＋)f(3β＋2π)＝求cos(α＋的值．

解：(1)f()＝2sin(×－

2sin＝.

2)∵α0，]，f(3α＋)f(3β＋2π)＝

2sinα＝，2sin(β＋即sinα＝，cosβ＝.

cosα＝，sinβ＝.

cos(α＋cosα·cosβ－sinα·sinβ

20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ－sin(＋φ0<φ<其图像过点(，)

1)求φ的值；

2)将函数y＝f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图像，求函数g(x)在[0，]上的最大值和最小值．

解：(1)因为f(x)＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ－sin(＋φ0<φ<

所以f(x)＝sin2xsinφ＋cosφ－cosφ

sin2xsinφ＋cos2xcosφ

(sin2xsinφ＋cos2xcosφ)

cos(2x－φ)

又函数图像过点(，)所以＝·cos(2×－φ即cos(－φ1.

又0<φ<所以φ＝.

2)由(1)知f(x)＝cos(2x－)，将函数y＝f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图像，可知g(x)＝f(2x)＝cos(4x－)．

因为x∈[0，]，所以4x∈[0，π]因此4x－∈[故－≤cos(4x－)≤1.

所以y＝g(x)在[0，]上的最大值和最小值分别为和－.

21. (本小题满分12分)[2011·四川卷]已知函数f(x)＝sin(x＋)＋cos(x－)，x∈r.

1)求f(x)的最小正周期和最小值；

2)已知cos(β－cos(β＋0<α<求证：[f(β)2－2＝0.

解：(1)∵f(x)＝sin(x＋－2π)＋sin(x－＋)

sin(x－)＋sin(x－)

2sin(x－)．

t＝2π，f(x)的最小值为－2.

2)由已知得cosβ·cosα＋sinβsinα＝，cosβcosα－sinβsinα＝－两式相加得2cosβcosα＝0，0<α

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