初中数学培优——反比例函数的综合应用。
1、知识储备。
代数意义：给出反比例函数图象上一点坐标（x、y），则k=xy
当x、y变为-x、-y时，k不变，可知双曲线的两支关于原点对称。
几何意义：（1）过反比例函数图象上一点分别作x轴、y轴的垂线，与两坐标轴围成的长方形的面积为。
（2）过图象上的任一点p作x轴(或y轴)的垂线，连接op，则垂线段、op、x轴(或y轴)围成三角形的面积为。
（3）k0,双曲线的两支分别在。
一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小；k0,双曲线的两支分别在。
二、四象限，在每一象限y随x的增大而增大；
我们抓住反比例函数 k的意义可以快解题。
a、 快得解析式。
例1、某反比例函数的图象过点m（1,3）,则此反比例函数的解析式为。
b、 快判断点是否在图象上。
例2、在平面直角坐标系中有六个点a（1，5）,b（-3，-）c（-5,-1）d（-2，），e（3，）,f（,2）其中有五个点在同一反比例函数的图象上，不在这个反比例函数图象上的点是。
例3、已知反比例函数y=的图象经过p(-1,2)，则这个函数的图象位于第___象限。
例4、若a（，）b（，）c（，）是y=（0）上的三点，且0，则从小到大排列、、为___
e、快得图形的面积。
例5、如图，直线y=mx与y=交于a、b两点，过a作am垂直x轴，垂足为m，连接bm，若=2,则=__
例6、如图，y=经过矩形oabc的边bc的中点e，交ab于d，若梯形odbc的面积为3，则双曲线的解析式为___
f、快得图象上的两点与原点构成三角形面积。
如图1，由几何意义知s△coa=s△dob,则不重叠的两部分面积相等。
例7、已知a（1,2），b（4,b）在同一反比例函数的图象上，求s△aob.
反比例函数与不同的三角形结合，展示出许多趣味横生的妙题。本文对这一问题进行了归纳，仅供同学们学习时参考。
1、反比例函数与直角三角形。
例1、如图1所示，p是反比例函数y=在第一象限分支上的一个动点，pa⊥x轴，随着x的逐渐增大，△apo的面积将（ ）
a、增大 b、减小 c、不变 d、无法确定。
2、反比例函数与底边是定长的动态三角形。
例2、如图2，在直角坐标系中，点是轴正半轴上的一个定点，点是。
双曲线（）上的一个动点，当点的横坐标逐渐增大时，的面积将会：a．逐渐增大 b．不变 c．逐渐减小 d．先增大后减小。
例3、如图3所示，在直角坐标系中，△oba∽△doc，边oa、oc都在x轴的正半轴上，点b的坐标为（6，8），∠bao∠ocd90°，od5．反比例函数的图象经过点d，交ab边于点e．（1）求k的值．（2）求be的长．
例4、如图4所示，在平面直角坐标系中，直线ab与y轴和x轴分别交于点a、点8，与反比例函数y=在第一象限的图象交于点c(1，6)、点d(3，n)．过点c作ce上y轴于e，过点d作df上x轴于f．
(1)求m，n的值；(2)求直线ab的函数解析式；(3)求证：△aec≌△dfb．
分析：反比例函数的图像经常与三角形的面积联系在一起，下面就举例说明。
a、三角形面积的四个结论。
结论1、过反比例函数图像上一点，向x轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数k的绝对值的一半。
如图1所示，设p（a，b）是反比例函数y=（k≠0）图像上的一点，过点p作pa⊥x轴，垂足为a，三角形pao的面积是s，则|k|=2s。
结论2、过反比例函数图像上一点，向y轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数k的绝对值的一半。
如图2所示，设p（a，b）是反比例函数y=（k≠0）图像上的一点，过点p作pb⊥y轴，垂足为b，三角形pbo的面积是s，则|k|=2s。
结论3、正比例函数y=k1x（k1＞0）与反比例函数y=（k＞0）的图像交于a、b两点，过a点作ac⊥x轴，垂足是c，三角形abc的面积设为s，则s=|k|，与正比例函数的比例系数k1无关。如图3所示。
证明1：因为，正比例函数y=k1x（k1＞0）与。
反比例函数y=（k＞0）的图像交于a、b两点，所以，，所以，x=±，当x=时，y= k1x=，所以，点a的坐标是（，）当x=-时，y= k1x=-，所以，点b的坐标是（-，所以，oc的长度是，三角形abc 的面积=三角形aoc的面积+三角形boc的面积。
×oc×ac+×oc×bd
k+k=k。所以，与k1无关。
证明2、根据结论1，知道三角形aoc的面积是k，三角形boc的面积=×oc×bd|-|k，所以，三角形abc 的面积= k。
结论4、正比例函数y=k1x（k1＞0）与反比例函数y=（k＞0）的图像交于a、b两点，过a点作ac⊥x轴，过b点作bc⊥y轴，两线的交点是c，三角形abc的面积设为s，则s=2|k|，与正比例函数的比例系数k1无关。如图4所示。
因为，正比例函数y=k1x（k1＞0）与。
反比例函数y=（k＞0）的图像交于a、b两点，所以，，所以，x=±，当x=时，y= k1x=，所以，点a的（），当x=-时，y= k1x=-，所以，点b的坐标是（-，所以，oc的长度是，三角形abc 的面积=三角形aoe的面积+三角形bod的面积+矩形odce的面积。
×oe×ae+×od×bd+od×dc
k+k+k=2k。所以，与k1无关。
b、结论的具体应用。
这些结论，在解答中考数学中选择题、填空题都是非常有效的。下面就举例说明。
例1、如图5，若点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为3，则。
例2、两个反比例函数y=和y=在第一象限内的图象，如图6所示，点p在y=的图象上，pc⊥x轴于点c，交y=的图象于点a，pd⊥y轴于点d，交y=的图象于点b，当点p在y=的图象上运动时，以下结论：
1 △odb与△oca的面积相等；②四边形paob的面积不会发生变化；
pa与pb始终相等；④当点a是pc的中点时，点b一定是pd的中点．
其中一定正确的是。
例3、如图8，一次函数的图象分别交x轴、y轴于a、b，p为ab上一点且pc为△aob的中位线，pc的延长线交反比例函数的图象于q，，则k的值和q点的坐标分别为。
例4、如图9，反比例函数y=的图象与直线y=kx（k＞0）相交于a、b两点，ac∥bc∥轴，则△abc的面积等于个面积单位。
反比例函数与一次函数，就象一对孪生姐妹，在考题中常常是成对出现，且每次出场都具有不同的色彩。本文就给出四例，让同学们一起欣赏它们联手的精彩。
例1、函数的图象与直线没有交点，那么k的取值范围是：
a、 b、 c、 d、
例2、已知直线与双曲线的一个交点a的坐标为（-1，-2）．则它们的另一个交点坐标是___
例3、已知反比例函数= (0)的图象，在每一象限内，的值随值的增大而减少，则一次函数
-+的图象不经过（ ）
ａ．第一象限 ｂ．第二象限 ｃ．第三象限 ｄ．第四象限
例4、在平面直角坐标系中，直线向上平移1个单位长度得到直线．直线与反比例函数的图象的一个交点为，则的值等于 ．
一般地，如图1，过双曲线上任一点a作x轴、y轴的垂线am、an，，所得矩形amon的面积为：s=am×an=|x|×|y|=|xy|. 又y=，àxy=k.
à=|k|.à
这就是说，过双曲线上任一点，做x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|,这是系数k的几何意义，明确了k的几何意义会给解题带来许多方便，请思考下列问题：
1）、求函数的解析式。
例1如图2所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于点．过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点、．如果四边形是正方形，求一次函数的关系式．
2）.特殊点组成图形的面积。
例2如图3，点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若则 ．
例3如图4，a、b是函数的图象上关于原点对称的任意两点，bc轴，ac轴，÷abc的面积记为，则（ ）
a． b． c． d．
3)、求字母的值。
例4如图5，直线y=mx与双曲线y=交于a、b两点，过点a作amx轴，垂足为m，连结bm,若=2，则k的值是（ ）
a．2 b、m-2 c、m d、4
例5如图6，已知双曲线经过直角三角形oab斜边ob的中点d，与直角边ab相交于点c．若÷obc的面积为3，则k
4)、求线段的长度。
例6如图7，已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于点，与轴相交于点轴于点，的面积为1，则的长为保留根号。
5)、**面积的变化。
例7如图7，在直角坐标系中，点是轴正半轴上的一个定点，点是双曲线（）上的一个动点，当点的横坐标逐渐增大时，的面积将会（ ）
a．逐渐增大 b．不变 c．逐渐减小 d．先增大后减小。
6).确定自变量的取值范围。
例8已知一次函数点p在反比例函数的图象上，pax轴，垂足为a,pby轴，垂足为b,且四边形aobp(o为坐标原点)的面积为2.
求k值；求所有满足的x;
八年级数学培优反比例函数的应用
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