反比例函数中的面积问题。
由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。下面就反比例函数中与面积有关的问题的四种类型归纳如下：
利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题。
设p为双曲线上任意一点，过点p作x轴、y轴的垂线pm、pn，垂足分别为m、n，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形pmon的面积为s=|pm|×|pn|=|y|×|x|=|xy|
∴xy=k 故s=|k| 从而得。
结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积s为定值|k|
对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：
结论2：在直角三角形abo中，面积。
结论3：在直角三角形acb中，面积为。
结论4：在三角形amb中，面积为。
例1】 如图，直线oa与反比例函数的图象在第一象限交于a点，ab⊥x轴于点b，△oab的面积为2，则k＝ ．
2）如图，已知双曲线（）经过矩形的边的中点，且四边形的面积为2，则 ．
评注：第①小题中由图形所在象限可确定k>0，应用结论可直接求k值。第②小题首先应用三角形面积的计算方法分析得出四个三角形面积相等，列出含k的方程求k值。
如图，矩形abod的顶点a是函数与函数在第二象限的交点，轴于b，轴于d，且矩形abod的面积为3．
1）求两函数的解析式．
2）求两函数的交点a、c的坐标．
3）若点p是y轴上一动点，且，求点p的坐标．
解：例2】（1） 在反比例函数的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（ ）
ab． c． d．
2）(2024年牡丹江市)如图，点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若则 ．
例3】如图，已知a(-4,n)，b(2,-4)是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点．
1）求反比例函数和一次函数的解析式；
2）求直线与轴的交点的坐标及三角形的面积．
解：如图，直线与反比例函数（＜0）的图象相交于点a、点b，与x轴交于点c，其中点a的坐标为（－2，4），点b的横坐标为－4.
1）试确定反比例函数的关系式；
2）求△aoc的面积。
解：例4】已知， a、b、c、d、e是反比例函数（x>0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图5所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是 （用含π的代数式表示）
如图，⊙a和⊙b都与x轴和y轴相切，圆心a和圆心b都在反比例函数的图象上，则图中阴影部分的面积等于 .
1、反比例函数的图象如图所示，点m是该函数图象上一点，mn垂直于x轴，垂足是点n，如果s△mon＝2，则k的值为（ ）
(a)2 (b)-2 (c)4 (d)-4
2、（四川绵阳）若a（a1，b1），b（a2，b2）是反比例函数图象上的两个点，且a1＜a2，则b1与b2的大小关系是（ ）
a．b1＜b2 b．b1 = b2 c．b1＞b2 d．大小不确定。
3、（福建龙岩）函数与在同一坐标系内的图象可以是（ ）
4、（湖北潜江）如图，反比例函数的图象与直线相交于b两点，ac∥轴，bc∥轴，则△abc的面积等于
5、如图所示，反比例函数的图象经过点，过点a作ab垂直x轴于点b，△aob的面积为。
（1）求k和b的值；
（2）若一次函数的图象经过点a，并且与x轴相交于点m，求ab：om的值。
6.如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于a（-2，1），b（1，n）两点．
1）求反比例函数和一次函数的解析式；
2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
7．已知：如图，函数y=-x+2的图象与x轴、y轴分别交于点a、b，一直线l经过点c（1，0）将△aob的面积分成相等的两部分．
1）求直线l的函数解析式；
2）若直线l将△aob的面积分成1：3两部分，求直线l的函数解析式．
已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点a(3,2)
1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？
3）m(m,n)是反比例函数图象上的一动点，其中过点作直线轴，交轴于点；过点作直线轴交轴于点，交直线于点．当四边形的面积为6时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．
1、如图所示，反比例函数与一次函数的图象交于a、b两点。
（1）求a、b两点的坐标；（2）求△aob的面积。
2、（2008山东省）（1）**新知： 如图1，已知△abc与△abd的面积相等，试判断ab与cd的位置关系，并说明理由．
2）结论应用：① 如图2，点m，n在反比例函数（k＞0）的图象上，过点m作me⊥y轴，过点n作nf⊥x轴，垂足分别为e，f．
试证明：mn∥ef．
若①中的其他条件不变，只改变点m，n 的位置如图3所示，请判断 mn与ef是否平行。
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