一、知识结构
因式分解 二、注意事项：
1.因式分解与整式乘法
（1）因式分解与整式乘法互为逆运算。如
又如： （2）什么时候用整式乘法，什么时候用因式分解，是根据需要而决定的。如把(x-1)(x-2)-6分解因式，必须先做乘法，得
(x-1)(x-2)-6=(x2-3x+2)-6=x2-3x-4=(x-4)(x+1)
又如，计算(x+y)2-(x-y)2, 一般不是按照运算顺序先做整式乘法，而是先因式分解，得
(x+y)2-(x-y)2
=[(x+y)+(x-y)][x+y)-(x-y)]
=2x·2y
=4xy 2.关于因式分解的要求：
（1）分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。例如x4-1=(x2+1)(x2-1)，就不符合因式分解的要求，因为(x2-1)还能分解成(x+1)(x-1)。
（2）在没有特别规定的情况下，因式分解是在有理数范围内进行的。
3.因式分解的一般步骤：
可归纳为一“提”、二“套”、三“分”、四“查”。
（1）一“提”：先看多项式的各项是否有公因式，若有必须先提出来。
（2）二“套”：若多项式的各项无公因式（或已提出公因式），第二步则看能不能用公式法或按x2+(p+q)x+pq型分解。
（3）三“分”：若以上两步都不行，则应考虑分组分解法，将能用上述方法进行分解的项分到一组，使之分组后能“提”或能“套”。
（4）四“查”：可以用整式乘法查因式分解的结果是否正确。
只有养成良好的思维习惯，解题时才能少走弯路。
因式分解综合测试
一、填空题
(1)x2+2x-15=(x-3)(_
(2)6xy-x2-5y2=-(x-y
(3x+2)(x-3).
(4)分解因式x2+6x-7
(5)若多项式x2+bx+c可分解为(x+3)(x-4), 则b=__c=__
(6)若x2+7x=18成立，则x值为___
(7)若x2-3xy-4y2=0，且x+y≠0，则x=__
(8)(x-y)2+15(x-y)+14=(_1)(x-y+__
(9)多项式 x2+3x+2, x2-2x-8, x2+x-2的公因式为___
(10)已知a, b为整数，且m2-5m-6=(m+a)(m+b), 则a=__b=__
二、选择题
(1)若x2+2x+y2-6y+10=0，则下列结果正确的是（ ）
a、x=1, y=3 b、x=-1,y=-3 c、x=-1,y=3 d、x=1,y=-3
(2)若x2-ax-15=(x+1)(x-15)，则a的值是（ ）
a、15 b、-15 c、14 d、-14
(3)如果3a-b=2,那么9a2-6ab+b2等于（ ）
a、2 b、4 c、6 d、8
(4)若x+y=4, x2+y2=6，则xy的值是（ ）
a、10 b、5 c、8 d、4
(5)分解因式(x2+2x)2+2(x2+2x)+1的正确结果是（ ）
a、(x2+2x+1)2 b、(x2-2x+1)2 c、(x+1)4 d、(x-1)4
(6)-(2x-y)(2x+y)是下列哪一个多项式分解因式的结果（ ）
a、4x2-y2 b、4x2+y2 c、-4x2-y2 d、-4x2+y2
(7)若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m的值应为（ ）
a、-5 b、7 c、-1 d、7或-1
(8)已知x3-12x+16有一个因式为x+4, 把它分解因式后应当是（ ）
a、(x+4)(x-2)2 b、(x+4)(x2+x+1)
c、(x+4)(x+2)2 d、(x+4)(x2-x+1)
三、因式分解
(1) x(x+y+z)+yz (2) x2m+xm+
(3) a2b2-a2-b2-4ab+1
(4) a2(x-y)2-2a(x-y)3+(x-y)4
(5) x4-6x2+5
(6) x4-7x2+1 (7) 3a8-48b8
(8) x2+4y2+9z2-4xy-6xz+12yz
四、解答题
1.已知a2+9b2-2a+6b+2=0，求a,b的值。
2.求证：不论x取什么有理数，多项式-2x4+12x3-18x2的值都不会是正数。
3.已知n为正整数，试证明(n+5)2-(n-1)2的值一定被12整除。
4.已知x+y=4, xy=3，求(1) 3x2+3y2; (2) (x-y)2.
5.设a>0, b>0, c>0且a、b、c中任意两数之和大于第三个数，求证：a2-b2-c2-2bc<0.
五、利用因式分解计算：
(1)已知长方形的周长是16cm, 它的两边长a、b是整数，满足a-b-a2+2ab-b2+2=0，求长方形面积。
(2)如图1，一条水渠，其横断面为梯形，根据图中的长度，求出横断面面积的代数式，并计算出当a=2, b=0.8时的面积。
(3)如图2，在半径为r的圆形钢板上，冲去半径为r的四个小圆，利用因式分解计算当r=7.8cm, r=1.1cm时剩余部分的面积（π取3.14，结果保留三位有效数字）。
答案： 一、(1) x+5 (2) x-5y (3) x2-x-6 (4) (x+7)(x-1) (5) -1, -12 (6) -9或2 (7) 4y (8) x-y, 14 (9) x+2 (10) -6或1，1或-6 二、(1)c (2)c (3)b (4)b (5)c (6)d (7)d (8)a 三、(1) (x+y)(x+z) (2) (xm+)2 (3) (ab-1-a-b)(ab-1+a+b)
4) (x-y)2(a-x+y)2 (5) (x+1)(x-1)(x2-5) (6) (x2+3x+1)(x2-3x+1) (7) 3(a4+4b4)(a2+2b2)(a2-2b2) (8) (x-2y-3z)2 四、1、a=1, b=-
2、证明：-2x4+12x3-18x2=-2x2(x2-6x+9)=-2x2(x-3)2≤0.
3、证明：(n+5)2-(n-1)2=(n+5+n-1)(n+5-n+1)=6(2n+4)=12(n+2).
∴ (n+5)2-(n-1)2能被12整除。
5、提示：将求证左边分组分解成四个整式乘积，然后利用已知条件对每个因式的符号进行讨论。
五、(1) 由题意得
a+b=8, (a-b+1)(a-b-2)=0,
∴ a-b=-1或a-b=2.
∵ a与b是整数， ∴a-b=-1不合题意。
∵ a-b=2, ∴a=5, b=3.
∴ ab=15，即长方形的面积为15cm2。
(2) 3.36 (3) 176cm2
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