东莞理工学院（本科）试卷a答案。
2009-2010 学年第二学期。
一、 填空题（每空题2分，共计70分）
1. a、b、c是三个随机事件，且a与b相互独立，a与c互不相容。已知p( a ) 0.
2，p( b ) 0.6，p( b | c ) 0.5，p( bc ) 0.
4。请计算以下事件的概率：
p() 0.8 ， p( ab ) 0.12p( ac ) 0p( c ) 0.8 ， p( a+b ) 0.68 ， p( c | b ) 2/3 。
2. 假设有某种彩票叫“10选2”，每周一期。其规则是从1到10的10个自然数中不重复地任意选2个数组成一注，每注1元。
如果所选的2个数与本期出奖的结果（也是从1到10中不重复选出的2个自然数）完全相同，则中奖，奖额为40元。则购买一注彩票能中奖的概率是 1/45 。引进随机变量x，如果买1注彩票中奖了则令x等于1，否则令x等于0，那么x服从 0-1 分布，x的数学期望等于 1/45 。
3. 已知某对夫妇有三个小孩，但不知道他们的具体性别。设他们有y个儿子，如果生男孩的概率为0.
5，则y服从 b(3,0.5) 分布。这对夫妇恰好一个儿子的概率是 3/8 。
他们的孩子的男女性别比例最可能是 1:2或2:1 。
4. 假设东莞市公安机关每天接到的110报警**次数可以用泊松(poisson)分布来描述。则东莞市公安机关在某一天没有接到一个110报警**的概率为，每天接到的110报警次数平均为 100 次。
5. 指数分布又称为寿命分布，经常用来描述电子器件的寿命。设某款电器的寿命（单位：小时）的密度函数为。
则这种电器没有用到500小时就坏掉的概率为，这种电器的平均寿命为 1000 小时。
6. 根据世界卫生组织的数据，全球新生婴儿的平均身长为50厘米，身长的标准差估计为2.5厘米。
设新生婴儿的身长服从正态分布，则全球范围内大约有 11.51 %新生婴儿身长超过53厘米，有 21.19 %新生婴儿身长不足48厘米，身长在49厘米到51厘米之间的新生婴儿大约占 31.
08 %。
7. 设随机变量x ~ n（20，9），y ~ n（20，16），且x与y相互独立，则x+y服从 n(40,25) 分布，x–y服从 n(0,25) 分布。p(x–y>0) =0.
5 ，p(x+y>36) =0.7881 。
8. 已知e(x) =1，d(x) =2，e(y) =3，e( y2 )=17，x和y的相关系数。则d(y)= 8 ，e(x2) =3 ，d(x+y) =26/3 ，d(y–2x) =40/3 ？
9. 设x1，x2，x3是来自总体x的简单随机样本，则x1（是或不是）是总体均值的无偏估计，x2 – x1（是或不是）不是总体均值的无偏估计，(x2+x1)/2（是或不是）是总体均值的无偏估计，以上属于无偏估计的统计量中最有效的一个为 (x2+x1)/2 。
10. 已知随机变量和相互独立，且，。则服从分布。
11. 设及分别是总体的容量为20和30的两个独立样本，这两组样本的样本均值分别记为。则服从分布 n(20,0.5) ，服从分布 n(0,5/6服从分布。
二、 计算题（共20分）
1. 设随机变量x，y的概率密度分别为：
已知随机变量x和y相互独立。
1）求（x, y）的联合概率密度（2分）；
2）计算概率（4分）。
解：（1）由独立性可得。
2. 欲调查某地居民每年用于服装的消费支出。随机抽取了25户家庭进行调查，发现平均每户家庭每年用于服装的消费支出为810元，标准差为85元。
假设该地区每户家庭每年用于服装的消费支出服从正态分布。
1） 以90%的置信度构造该地区平均每户家庭每年用于服装的消费支出的置信区间（3分）。
2） 以95%的置信度构造该地区平均每户家庭每年用于服装的消费支出的置信区间（3分）。
3） 从以上两个置信区间找出置信度与置信区间宽度的定性关系（1分）。解：（1）
3）置信度越高，区间宽度越宽。置信度越低，区间宽度越窄。
3. 随机抽取1600名中国成年男性，测量他们的身高数据。这些数据显示，平均身高为170厘米，标准差为10厘米。请解答下列问题：
1） 可以认为“随机抽取的1600名中国成年男性的平均身高近似服从正态分布”。这一结论得到了概率论中非常重要的一类定理的支持。请写出这类定理的名称（1分）。
2） 利用（1）中结论，用0.05的显著性水平检验“中国成年男性的平均身高是171厘米”这一命题能否接受。（6分）
解：（1）中心极限定理。
2）中国成年男性的平均身高等于171厘米。
中国成年男性的平均身高不等于171厘米2分。
检验统计量为2分。
由于，且-4远小于-1.96，所以拒绝原假设。……2分。
三、 阅读下列材料并解答问题（共10分）
材料一：硬币模型是概率论中的著名模型，很多数学家和统计学家曾亲自抛硬币，抛的次数还很大，且每次记录。……电子计算机出现以后，编程在计算机上模拟抛硬币成了许多学习概率统计的学生的一大乐趣。
……a同学曾经在计算机上模拟了一万次的抛硬币过程，且看到了连续出现10次天安门朝上的事件。……b同学曾经模拟过100万次的抛硬币过程，发现天安门朝上502003次。…
材料二：正态分布是概率统计中非常重要的一类分布。……正态分布的“3原理”又叫“68-95-997法则”，在概率估计中具有重要作用。
它的大致含义是，在服从正态分布的数据集中，偏离中心不超过1倍标准差的数据占全体数据的比例约为68.3%，偏离中心不超过2倍标准差的数据占全体数据的比例约为95.4%，偏离中心不超过3倍标准差的数据占全体数据的比例约为99.
7%……质量管理中的“6管理”正是**于正态分布的“3原理”。…在服从正态分布的数据集中，偏离中心超过4倍、5倍和6倍标准差的数据占全体数据的比例分别约为十万分之。
六、千万分之六和十亿分之二。……
材料三：样本均值是重要而常用的统计量。….样本比例定义为。
是相互独立且服从相同的0-1分布的随机变量。可见样本比例是特殊的样本均值。样本比例在各种民意调查的统计分析中非常常用。
材料四：下面是大样本条件下总体均值的置信区间：
由于比例是一种特殊的均值，所以用样本比例代替样本均值可以得到总体比例的置信区间。当然需要把具体写成0-1分布的标准差即。这里的总体比例是未知的，根据统计自助，可以用代替。
这样大样本条件下的总体比例的置信区间可以写成。
问题：1）根据材料一和二，估算出“b同学的100万次抛硬币模拟中天安门朝上的次数不低于502003次”这一随机事件发生的概率（6分）。
2）关于**选举的最近一次盖洛普民意调查显示，随机抽取的2500名选民有1500名投票支持现任**继任，剩余的1000名则把票投给了另一位候选人。请根据材料三和四以95%的置信度给出现任**的得票率的置信区间（4分）。
解：（1）假设在b同学的100万次抛硬币模拟中天安门朝上的次数为次，则2分。
根据中心极限定理，近似成立，且误差很小（因抛的次数太大2分。
故天安门朝上在502003次以上的概率近似为。
最后一个约等号用到了材料2中“偏离中心超过4倍标准差的数据占全体数据的比例分别约为十万分之六”这一数据2分。
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