概率论与数理统计作业。
班级姓名学号任课教师
第二章随机变量及其分布。
教学要求:一、理解随机变量的概念;理解离散型随机变量及其分布律的定义,理解分布律的性质;掌握(0-1)分布、二项分布、poisson分布的概念、性质;会计算随机变量的分布律。
二、理解分布函数的概念及其性质;理解连续型随机变量的定义、概率密度函数的基本性质,并熟练掌握有关的计算;会由分布律计算分布函数,会由分布函数计算密度函数,由密度函数计算分布函数。
三、掌握均匀分布、正态分布和指数分布的概念、性质。
一、 掌握一维随机变量函数的分布.
重点:二项分布、正态分布,随机变量的概率分布.
难点:正态分布,随机变量函数的分布.
练习一随机变量、离散型随机变量及其分布律。
1.填空、选择。
1)抛一枚质地均匀的硬币,设随机变量。
则随机变量在区间上取值的概率为。
2)一射击运动员对同一目标独立地进行4次射击,以表示命中的次数,如果,则。
3)设离散型随机变量的概率分布为其中是常数,则( )
(a); b); c); d)为任意常数。
2.一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取出3只球,以表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量的分布律。
解:从~中随机取3个共有种取法。
以表示3个中的最大值。的所有可能取值为。
表示取出的3个数以3为最大值,其余两个数是1,2,仅有这一种情况,则;
表示取出的3个数以4为最大值,其余两个数可在1,2,3中任取2个,共有种取法,故;
表示取出的3个数以5为最大值,其余两个数是1,2,3,4中任取2个,共有种取法,故。 也可由得到。
随机变量的分布律为。
3.设为随机变量,且(),则。
1)判断上面的式子是否为的概率分布;
解:令,显然 ①,所以为随机变量的概率分布。
2)若是,试求和。
解:为偶数;
4. 设一次试验成功的概率为,不断进行重复试验。
1)若将试验进行到首次成功为止,用随机变量表示试验的次数,求的概率分布(此时称服从以为参数的几何分布);
解:此试验至少做一次,这是可能取值的最小值。若需要做次,则前次试验均失败,最后一次成功,由于各次试验是相互独立的,故分布律为:
2)若将试验进行到出现次成功为止,以表示所需要的试验次数,求的分布律(此时称随机变量服从以为参数的巴斯卡分布或负二项分布)
解:此试验至少做次,若需要做次,则第次必为成功,而前次中有次成功,由于各次实验是相互独立的,故分布律为:
3)一篮球运动员投篮命中率为45﹪.以表示他首次投中时累计投篮的次数,写出的分布律,并计算取偶数的概率。
解:这是(1)中的情形,先写出的分布律:
因故取偶数的概率为。
5.一张考卷上有5道选择题,每道题列出4个可能答案,其中有1个答案是正确的。求某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少?
解:因为学生靠猜测答对每一道题的概率,所以这是一个的独立重复试验,故。
6.设事件在每一次试验中发生的概率为0.3.当发生不少于3次时,指示灯发出信号。
1)进行了5次重复独立试验,求指示灯发出信号的概率;
解:设表示在5次实验中发生的次数,则,指示灯发出信号这一事件可表示为,故所求的概率为。
2) 进行了7次重复独立试验,求指示灯发出信号的概率。
解:设表示在7次试验中发生的次数,则,故指示灯发出信号的概率为。
7.为了保证设备正常工作,需要配备适当数量的维修人员。根据经验每台设备发生故障的概率为0.01,各台设备工作情况相互独立。
1)若由1人负责维修20台设备,求设备发生故障后不能及时维修的概率;
解:设表示设备发生故障的台数,则,于是由人负责维修台设备,发生故障后不能及时维修的概率为:
(按poisson分布近似)
2)设有设备100台,1台发生故障由1人处理,问至少需配备多少维修人员,才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率不超过0.01?
解:设表示设备发生故障的台数,则设为需配备的维修人员,则设备发生故障而不能及时维修的概率为。
依题意有。由于,由poisson分布近似得。
查表得。所以至少需配备4名维修人员。
8. 设书籍上每页的印刷错误的个数服从poisson分布。经统计发现在某本书上,有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同,求任意检验4页,每页上都没有印刷错误的概率。
解:设服从参数为泊松分布,即~,则的分布律为。
依题意有,即解得。所以每页没有印刷错误的概率
任意检验4页,每页上都没有印刷错误的概率
9. 某公安局在长度为的时间间隔内收到紧急呼救的次数服从参数为的poisson分布,而与时间间隔的起点无关(时间以小时计),求。
1)某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率;
解:已知,某一天从中午12时至下午3时则于是没有收到紧急呼救的概率为。
2)某一天从中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率。
解:已知,某一天从中午12时至下午5时则于是至少收到1次紧急呼救的概率为。
练习二随机变量的分布函数。
1.(1)设服从分布,其分布律为,求的分布函数,并作出其图形。
解:服从(0—1)分布,分布律为。
当时, 当时, ,当时, ,故的分布函数为:
图略)。2) 一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取出3只球,以表示取出的3只球中的最大号码,求随机变量的分布函数。
解:的分布律为。
的分布函数为,即有。
当时, 当时,
当时, ,当时, ,故知
2.已知随机变量的概率分布为,,,试求(1)的分布函数;(2);(3)画出的曲线。
解:(12)
3)曲线:3.设表示某商店从早晨开始营业起到第一个顾客到达的等待时间(以分计),的分布函数为求下述概率:
解: (1) .
5.从家到学校的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的概率是相互独立的,且概率均是0.4,设为途中遇到红灯的次数,试求(1)的概率分布;(2)的分布函数.
解:(简答)(1)这是的重复独立实验,的概率分布律为;
列成**。2)的分布函数为。
练习三连续型随机变量及其概率密度。
1. 填空。
1)设随机变量在区间上服从均匀分布,则关于的方程有实根的概率是。
2)设随机变量,且概率,则__0.2___
2. 设为连续型随机变量,其分布函数为。
试确定中的的值。
解:因为, ,所以
又由于为连续函数,则即, 于所有。
即 3. 设连续型随机变量的分布函数为。
试求:(1)的值;(2);(3)概率密度函数。
解:(1)因为连续型随机变量的分布函数是连续函数,因此有。
即。 又因为 所以,即。
4. 设连续型随机变量的概率密度曲线如图所示。
试求:(1)的值;(2)的概率密度;(3);(4) 求的分布函数。
解:(简答)
5. 设连续型随机变量的概率密度为,试确定常数;并求。
解:因为,则。
即, 又,所以。
6. 设随机变量服从[1,5]上的均匀分布,试求。 如果。
解:的概率密度为。
7. 假设某地在任何长为(年)的时间间隔内发生**的次数服从参数为的poisson分布,表示连续两次**之间相隔的时间(单位:年),试求:
(1)证明服从指数分布并求出的分布函数;
(2)今后3年内再次发生**的概率;
3)今后3年到5年内再次发生**的概率。
解:(1)当,且时,发生**的次数,则。
所以。当时, ,所以。
即服从参数的指数分布。
8. 设连续型随机变量的概率密度为。
以表示对的三次独立重复试验中“”出现的次数,试求概率。
解:因为 ,依题意 ~,则。
9. 设顾客排队等待服务的时间(以分计)服从的指数分布。某顾客等待服务,若超过10分钟,他就离开。
他一个月要去等待服务5次,以表示一个月内他未等到服务而离开的次数,试求的概率分布和。
解:的概率密度
则顾客离开的概率为。
于是~,其分布律为。
所以。10. 设随机变量的概率密度函数为,试确定的值并求和。
解:由性质由于。
则。分布函数。
11.设,试计算
2)设满足,问至多为多少?
解:(1)因为,故有。
2)即。因为分布函数是一个单调不减的函数,故有。
因此 12.一工厂生产的某种元件的寿命(以小时计)服从参数为的正态分布。若要求,则允许最大为多少?
解:因,现要求。
即要求,应有。
即允许最大为31.20.
13. 某科统考成绩近似服从正态分布,第100名的成绩为60分,问第20名的成绩约为多少分?
解:设第20名的成绩为x,则。
而。又因为。所以。即。
所以 ,查表得,即。
14. 设随机变量和均服从正态分布,,,而,,试证明。
证明: 练习四随机变量函数的分布。
1. 已知的概率分布为:
试求(1); 2)的概率分布。
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