习题二参***。
1.设，，求。
2) 若满足，求．
解：(1)
2) 由得，，所以。
2.计算。解：(1).
3.已知两个线性变换，(1)试把这两个线性变换分别写成矩阵形式；
2)用矩阵乘法求连续施行上述变换的结果．
解：(1) 写成矩阵形式为。
2)连续施行上述变换有。
4.某企业在一月份出口到三个国家的两种货物的数量以及两种货物的单位的**、重量、体积如下表：
利用矩阵乘法计算该企业出口到三个地区的货物总价值、总重量、总体积各为多少？
解：设矩阵，则该企业出口到三个地区的货物总价值为。
总重量为。总体积为。
5.计算下列矩阵(其中为正整数)．
解：时，假设当时，成立，则。
当时，，有归纳法有。
(2)时，假设当时，成立，则。
当时，有归纳法有。
3)时， 假设当时，成立，则。
当时，有归纳法有。
4),时，时，于是，当（为正整数）时，当（为正整数）时，因此得。
6.设，记，称为方阵的次多项式．
现设，，求．
解： 7.设矩阵、是可交换的，试证：
证明：因为矩阵、是可交换的，所以，因此有(1) ，2) .
8.设、是同阶矩阵，且，证明：的充分必要条件是．
证明：必要性如果，则，由于矩阵与是可交换的，由上式得。
整理得 ．充分性如果，则。
9.设矩阵。
均为实数），1)计算；
2)利用(1)的结果，求．
解：(1)
(2)由(1)有。
所以．10. 证明题：
1)对于任意的矩阵，则和均为对称矩阵．
2) 对于任意的阶矩阵，则为对称矩阵；而为反对称矩阵．
证明：(1) 因为，所以为对称矩阵；
又因为，所以为对称矩阵．
2) 因为，所以为对称矩阵；
又因为，所以为反对称矩阵．
11.如果、是同阶对称阵，则是对称阵的充分必要条件是。
证明：必要性如果是对称阵，则，即，由已知有 ，所以．
充分性如果，则。
所以是对称阵．
12.设阶矩阵的伴随矩阵为，证明。
(1) 若，则； (2)．
证明：(1)假设，则，由此得 ，所以 ，这与相矛盾，故时，有。
2) 由得，若时，有，若时，由(1)知，等式也成立，故有。
13.设阶矩阵， ,满足，则下列各式中哪一个必定成立？简述理由．
解：由可改写为，即是的逆矩阵，所以有，即(4) 必定成立．
类似可得(1)、(2)、(3)未必成立。
14.设，均为阶可逆矩阵，下列各式一定成立的有哪些？简述理由．
3) (为正整数)；
解： (1)由于， ,所以。
即(1)式一定成立．
2) 由于，，即(２)式不一定成立．
3)，(式一定成立．
4)设，，显然、都可逆，但是。
不可逆，故(４)式不成立．
5) 由于。
即(５)式一定成立．
6) 由于。
但是不一定等于，故(6) 式不一定成立。
15.设是阶矩阵，满足是正整数),求证：可逆，并且．
证明：因为。
所以可逆，并且．
16.设是可逆矩阵，证明：其伴随矩阵也可逆，且。
证明：因为是可逆矩阵，所以，由于。
有 ，因此，伴随矩阵也可逆．
由上述证明可知，又因为 ，所以 ，故 ．
17.设、和均是可逆矩阵，试证：也可逆，并。
求其逆矩阵．
解： 由于、和均是可逆矩阵，它们的乘积也可逆，所以有。
18.设为三阶矩阵，是矩阵的伴随矩阵，已知，求。
解：因为，所以有可逆，且有．而。
于是，因此有
19.用分块矩阵的乘法计算。
解：(1) 设，则。
而 ，于是．
(2)设，则，而，于是．
20.求分块矩阵的逆矩阵．
解：(1)记，，则，所以都可逆，且有，于是．
2)记，因为，，所以、均是可逆矩阵，且有，根据例2.17的结论有。
所以．21.设为三阶矩阵，，把按列分块为，其中为的第列，求。
解： (1)
22.设为阶矩阵，把按列分块为， 为的第列，试用表示．
解： 23.设为三阶可逆矩阵，若按行分块为，按列分块为，试判断下列分块矩阵是否可逆．
解：(1)利用行列式的性质计算分块矩阵的行列式。
从而可逆．(2)，从而不可逆．
24.设矩阵，，则下列各式中哪一个必定成立？简述理由．
解：因为的第一行加到第三行，再交换的第一行和第二行，从而得得到，故用左乘，再左乘，即，(3)式必定成立．
25.求下列矩阵的等价标准形．
解：(1)
26.用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵．
解：(1) 所以。
所以。所以。
所以。27.解下列矩阵方程．
4) 设，且，求．
解：(1)因为，所以矩阵可逆，在方程的两边左乘该矩阵的逆矩阵，得。
2) 因为，所以矩阵可逆，在方程的两边右乘该矩阵的逆矩阵，得。
3) 设，，则，故矩阵都可逆，在方程的两边左乘，右乘，得。
4)由得，而。
且，所以可逆，在两边左乘得，又。
故。28.求下列矩阵的秩．
解：(1)
所以该矩阵的秩是２.
所以该矩阵的秩是３.
29.已知阶矩阵满足，证明：为可逆矩阵；并求．
解：由得，即。
所以为可逆矩阵，．
30.已知阶矩阵，满足，(1) 证明：为可逆矩阵；
2) 已知，求矩阵．
证明：(1)由得，即，整理的，因此可逆，且．
解：(2)由(1)得，即。
b)1.若、是阶方阵，且可逆，则也可逆，且。
证明： 所以也可逆，且．
2. 设为可逆矩阵，、是同阶方阵，且，证明：和都为可逆矩阵．
证明：由得，即，由于为可逆矩阵，所以，因而有，于是 ，所以和都为可逆矩阵．
已知实矩阵满足 (1) ，其中是的代数余子式；(2)，计算．
解：由得，于是 ，从而。
或，但由于得，因此 ．
4.设、为同阶可逆矩阵，证明：．
证明：因为、为同阶可逆矩阵，所以有。
即也可逆，而，于是。
5.设矩阵的伴随矩阵。
且，求．解：由题有，所以 ，即．又。
从而，，即。
于是，故。6.已知，且矩阵满足，其中是的伴随矩阵，求矩阵．
解：由， 有。
于是 ，所以。而。于是。
所以。7．已知、都是阶矩阵，且满足．其中为阶单位矩阵．
(1) 证明：可逆，并求；
2) 若，求矩阵．
证明：(1) 由于，因此，于是，即。
从而可逆，且有．
由(1)得，即，而。
所以 8.设阶矩阵满足，是阶单位矩阵，证明：
证明：因为，因此，即，从而 ，又，所以
故 ．9.设是阶方阵的伴随矩阵，证明：
证明：(1) 因为，所以可逆，于是．而，因此也可逆，故．
2) 因为，所以，于是，从而。
又 ，所以。
又知中至少有一个阶子式不为零，所以，从而。
3) 因为，所以中的任一阶子式为零，故，所以。
10. 设为阶非奇异矩阵，为维列向量，是常数．记分块矩阵，其中是矩阵的伴随矩阵，为阶单位矩阵．
(1)计算并化简；
2)证明：矩阵可逆的充分必要条件是．
解：(1) 因为，所以。
证明：(2) 由(1)得，即 ，而。
所以，由此可知，矩阵的充分必要条件是，即矩阵可逆的充分必要条件是．
线代第二章答案
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