习题2．1
1．解 = 由矩阵相等的定义有 ，解之得a = 2 ，b = c = d = 0
2． 解（1）2 a － 3 b = 2－ 3 =
2）x =
3． 解（1）=
4． 解设x = 为任意与a可交换的矩阵，则有a x = x a ，即。
= ，从而 =
由矩阵相等的定义，得 d = g = h = 0 ，a = e = i ，b = f ．所以与a可交换的矩阵为。
x其中a 、b 、c为任意常数）
5．证明设a = b = 为任意两个上三角矩阵，c = a b ．则有。
c21 = c31 = c32 = 0
即c =a b的主对角线下方的元素全为零，所以c为上三角矩阵．
下三角矩阵的情形亦类似可证．
6．证明必要性．设 = 则 = 从而。
b a =a b ，可见a 、b可交换；
充分性．设a 、b可交换，即有b a =a b ，则。
7．证明必要性．设＋ a = o ．由题设有 a = b － e ，代入上式得 = o ，即。
－ 2 b ＋ e ＋ b － e = o ，于是 = b ．
充分性．设= b ，则 =a ＋ e ，即＋ 2 a ＋ e =a ＋ e ，于是＋ a = o ．
8． 解（1） =
设当n = k 时有 = 则当n = k ＋1 时有。
所以，对任意自然数n都有 =
9． 解 f（a）= 3＋ 2 －=
10．解（1）=
11． 解（1）=
12．证明。
13．证明设a = 为n阶反对称矩阵．则由定义有 = 特别地，当i = j时有 = 从而 = 0 ，即反对称矩阵的主对角元皆为零．
14．证明因a 、b为反对称矩阵，故有 = a ，=b ．
1） 因 = b a － a b = 故。
a b － b a 是反对称矩阵．
2） 因 = b a ，故当且仅当a b = b a时有 =a b ，从而a b是对称矩阵的充要条件是a 、b可交换．
3） 因故。
当k为偶数时 = 从而为对称矩阵；
当k为奇数时 = 从而为反对称矩阵．
习题2．21．解（1）设a = 则 = 2 ≠ 0 ，故a可逆．又，= 所以。
2）设a = 则 = x ，=当x ≠ 0 时a可逆，且。
3）设a = 则 = 3 ≠ 0 ，故a可逆．又，= 所以。
4）设a = 则 = 7 ≠ 0 ，故a可逆．又，= 所以。
2．解（181
3．证明。4．证明。
5．证明因a为对称矩阵，故=a ，从而 = 即亦为对称矩阵．
若a为反对称矩阵，则= －a ，从而即亦为反对称矩阵．
6．解（1） 设a = 则 = 以左乘方程两边，得。
x = 2） 原方程可化作。
x － x =
从而。x =
即。x =
令a = 则 = 以右乘方程两边，得。
x = 3） a = b = 则 = 分别以和左乘和右乘方程两边，得。
x = 7．解方程组的矩阵形式为 =
设a = 则 = 以左乘方程两边，得。
= 即 =
故。x = 3 ，y = 4 ，z =
8．解（1） 误．应为 =
2） 误．反例：设a = b = e ，则 = 而 = 2 ；
3） 误．= 故当且仅当a 、b可交换时才成立；
4） 正．因a 、e可交换，所以据（3）的讨论等式成立；
5） 误．反例：设a = b = 则有 = 而。
6） 正．算出右边乘积并化简即得左式；
7） 正．以左乘等式 a b =a c 两边即得；
8） 误．反例：设b = a ，则 = o 不可逆．
习题2．31．解设c = b1 = b2 = 则a = b =
于是 a b = 而。
c b1 ＋ b2 =
所以。a b =
2．解。3．证明（1） 因a 、b可逆，故 ≠ 0 ，据laplace展开定理可得。
= ≠0 （其中k为某个自然数）
所以可逆．设 = 则由 = 得。
于是。a x3 = e ，a x4 = o ，b x1 = o ，b x2 = e
因a 、b可逆，故得。
x1 = o ，x2 = x3 = x4 = o所以。
2） 因 = 0 ，故可逆．设 = 则由。
得。于是。a x1 ＋ c x3 = e ，a x2 ＋ c x4 = o ，b x3 = o ，b x4 = e
因a 、b可逆，故得。
x1 = x2 = x3 = o ，x4 = 所以。
4．解（1） 设a = b = c = 则 = 又。
利用3（2）题的结果，得。
2） 设a = b = c = 则。
又。利用§2.3例4的结果，得。
3） 设a = b = 则 =
利用3（1）题的结果，得。
5．解设a1 = a2 = 则a = 又，容易求得。
所以。习题2．4
1．解（1）
2．解（1）
所以原矩阵a之标准形为 ，r（a）= 3 ．
所以原矩阵a之标准形为 ，r（a）= 2 ．
3．解 p12（k）= p12（k）a =
a p12（k）=
上述计算表明，初等矩阵p12（k）左乘矩阵a的结果使a的第2行的k倍加到a的第1行；初等矩阵p12（k）右乘矩阵a的结果使a的第1列的k倍加到a的第2列．
4．解 a = 相应的初等矩阵为。
5．解（1） 设a = 则。
故得 = 2） 设a = 则。
故得 = 6．解（1） 设a = b = 则矩阵方程为 a x = b ．
故得 x = b =
2） 设a = b = 则矩阵方程为 x a = b ．
故得 x = b =
复习题二。1．解（1） =
设 = 则。
所以，对任意自然数n都有。
2） 设 =a ，则。
= =4 e
所以，当n = 2 k时，= e ；当n = 2 k ＋1时，=a = a ．即。
2．证明设a为任意方阵，b = c = 则 = b ，从而b为对称矩阵；= 从而c为反对称矩阵．而a = b ＋ c ，所以a可表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和．
3．解由a b － a = b ，有 a ( b － e )=b ，因 b － e = 显然可逆，从而。a =
4．解 b = 3＋ 2 =
5．证明令p = q = b ，则p 、q皆可逆，且有 p a q = b ．
6．解由 = 得 = 而。
又，a为的逆阵，利用初等变换可得。
于是 a = 所以 = 2 a =
7．（1）解 p q = 因。= =o
故得 p q =
2）证明因而a非奇异，从而 ≠ 0 ，p可逆，于是利用（1）的结果，有。
q所以，当且仅当 ≠ 0 时 ≠ 0 ，即q可逆的充要条件是 α≠b ．
8．解 a ，而r（a）= 3 ，故。
从而 k = 3 ．
9．证明由题设 ＋ a = 7 e ，从而 a( a ＋ e )=e ，所以a可逆且。
= (a ＋ e )
又，由题设有 ＋ a － 6 e = e ，从而 ( a ＋ 3 e )(a － 2 e )=e ，所以a ＋ 3 e 、a － 2 e均可逆，且互为逆阵．
10． 证明因。
e － a )(e ＋ ae ＋ aa ＋＋
e －=e
故e － a可逆，且 = e ＋ a ＋＋
11．证明（1）因a可逆，故 = 所以。
2）= 又 = 所以。
12．证明因a奇异，故 = 0 ．
若a = o ，则有 = o ，故 = 0 ；
若a ≠ o ，假如 ≠ 0 ，则可逆，而 a= e ，从而 a = o ，与小前提矛盾！故 = 0 ．
13．解（1） x y z =
2） 由（1）得。
= =从而 =
14．证明由上题并注意到a 、c可交换，得。
15．解由 ＋ b = 得 a ＋ b a = e ，即 b (e ＋ a )=e ，故 e ＋ a = 2 e ＋ a可逆且与b互为逆阵，从而。
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