概率论与数理统计作业。
班级姓名学号任课教师
第二章随机变量及其分布。
教学要求：一、理解随机变量的概念；理解离散型随机变量及其分布律的定义，理解分布律的性质；掌握(0-1)分布、二项分布、poisson分布的概念、性质；会计算随机变量的分布律。
二、理解分布函数的概念及其性质；理解连续型随机变量的定义、概率密度函数的基本性质，并熟练掌握有关的计算；会由分布律计算分布函数，会由分布函数计算密度函数，由密度函数计算分布函数。
三、掌握均匀分布、正态分布和指数分布的概念、性质。
一、 掌握一维随机变量函数的分布．
重点：二项分布、正态分布，随机变量的概率分布．
难点：正态分布，随机变量函数的分布．
练习一随机变量、离散型随机变量及其分布律。
1．填空、选择。
1)抛一枚质地均匀的硬币，设随机变量。
则随机变量在区间上取值的概率为。
2)一射击运动员对同一目标独立地进行4次射击，以表示命中的次数，如果，则。
3)设离散型随机变量的概率分布为其中是常数，则（ ）
（a）； b）； c）； d）为任意常数。
2．一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取出3只球，以表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量的分布律。
解：从～中随机取3个共有种取法。
以表示3个中的最大值。的所有可能取值为。
表示取出的3个数以3为最大值，其余两个数是1,2,仅有这一种情况，则；
表示取出的3个数以4为最大值，其余两个数可在1,2,3中任取2个，共有种取法，故；
表示取出的3个数以5为最大值，其余两个数是1,2,3,4中任取2个，共有种取法，故。 也可由得到。
随机变量的分布律为。
3．设为随机变量，且(),则。
1)判断上面的式子是否为的概率分布；
解：令，显然 ①，所以为随机变量的概率分布。
2)若是，试求和。
解：为偶数；
4. 设一次试验成功的概率为，不断进行重复试验。
1)若将试验进行到首次成功为止，用随机变量表示试验的次数，求的概率分布(此时称服从以为参数的几何分布)；
解：此试验至少做一次，这是可能取值的最小值。若需要做次，则前次试验均失败，最后一次成功，由于各次试验是相互独立的，故分布律为：
2)若将试验进行到出现次成功为止，以表示所需要的试验次数，求的分布律（此时称随机变量服从以为参数的巴斯卡分布或负二项分布）
解：此试验至少做次，若需要做次，则第次必为成功，而前次中有次成功，由于各次实验是相互独立的，故分布律为：
3)一篮球运动员投篮命中率为45﹪.以表示他首次投中时累计投篮的次数，写出的分布律，并计算取偶数的概率。
解：这是(1)中的情形，先写出的分布律：
因故取偶数的概率为。
5．一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中有1个答案是正确的。求某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少？
解：因为学生靠猜测答对每一道题的概率，所以这是一个的独立重复试验，故。
6．设事件在每一次试验中发生的概率为0.3.当发生不少于3次时，指示灯发出信号。
1)进行了5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；
解：设表示在5次实验中发生的次数，则，指示灯发出信号这一事件可表示为，故所求的概率为。
2) 进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。
解：设表示在7次试验中发生的次数，则，故指示灯发出信号的概率为。
7．为了保证设备正常工作，需要配备适当数量的维修人员。根据经验每台设备发生故障的概率为0.01，各台设备工作情况相互独立。
1)若由1人负责维修20台设备，求设备发生故障后不能及时维修的概率；
解：设表示设备发生故障的台数，则，于是由人负责维修台设备，发生故障后不能及时维修的概率为：
(按poisson分布近似)
2）设有设备100台，1台发生故障由1人处理，问至少需配备多少维修人员，才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率不超过0.01？
解：设表示设备发生故障的台数，则设为需配备的维修人员，则设备发生故障而不能及时维修的概率为。
依题意有。由于，由poisson分布近似得。
查表得。所以至少需配备4名维修人员。
8. 设书籍上每页的印刷错误的个数服从poisson分布。经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率。
解：设服从参数为泊松分布，即～，则的分布律为。
依题意有，即解得。所以每页没有印刷错误的概率
任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率
9. 某公安局在长度为的时间间隔内收到紧急呼救的次数服从参数为的poisson分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计），求。
1）某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率；
解：已知，某一天从中午12时至下午3时则于是没有收到紧急呼救的概率为。
2）某一天从中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率。
解：已知，某一天从中午12时至下午5时则于是至少收到1次紧急呼救的概率为。
练习二随机变量的分布函数。
1．(1)设服从分布，其分布律为，求的分布函数，并作出其图形。
解：服从(0—1)分布，分布律为。
当时， 当时， ,当时， ,故的分布函数为：
图略）。2) 一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取出3只球，以表示取出的3只球中的最大号码，求随机变量的分布函数。
解：的分布律为。
的分布函数为，即有。
当时， 当时，
当时， ,当时， ,故知
2．已知随机变量的概率分布为，，，试求（1）的分布函数；（2）；（3）画出的曲线。
解：（12）
3）曲线：3．设表示某商店从早晨开始营业起到第一个顾客到达的等待时间(以分计),的分布函数为求下述概率：
解： (1) .
5．从家到学校的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的概率是相互独立的，且概率均是0.4，设为途中遇到红灯的次数，试求（1）的概率分布；（2）的分布函数．
解：（简答）（1）这是的重复独立实验，的概率分布律为；
列成**。2）的分布函数为。
练习三连续型随机变量及其概率密度。
1. 填空。
1)设随机变量在区间上服从均匀分布，则关于的方程有实根的概率是。
2)设随机变量，且概率，则__0.2___
2. 设为连续型随机变量，其分布函数为。
试确定中的的值。
解：因为， ,所以
又由于为连续函数，则即， 于所有。
即 3. 设连续型随机变量的分布函数为。
试求：（1）的值；（2）；（3）概率密度函数。
解：（1）因为连续型随机变量的分布函数是连续函数，因此有。
即。 又因为 所以，即。
4. 设连续型随机变量的概率密度曲线如图所示。
试求：（1）的值；(2）的概率密度；(3）；(4) 求的分布函数。
解：（简答）
5. 设连续型随机变量的概率密度为，试确定常数；并求。
解：因为，则。
即， 又，所以。
6. 设随机变量服从[1,5]上的均匀分布，试求。 如果。
解：的概率密度为。
7. 假设某地在任何长为(年)的时间间隔内发生**的次数服从参数为的poisson分布，表示连续两次**之间相隔的时间（单位：年），试求：
（1）证明服从指数分布并求出的分布函数；
（2）今后3年内再次发生**的概率；
3）今后3年到5年内再次发生**的概率。
解：（1）当，且时，发生**的次数，则。
所以。当时， ，所以。
即服从参数的指数分布。
8. 设连续型随机变量的概率密度为。
以表示对的三次独立重复试验中“”出现的次数，试求概率。
解：因为 ，依题意 ～，则。
9. 设顾客排队等待服务的时间（以分计）服从的指数分布。某顾客等待服务，若超过10分钟，他就离开。
他一个月要去等待服务5次，以表示一个月内他未等到服务而离开的次数，试求的概率分布和。
解：的概率密度
则顾客离开的概率为。
于是～，其分布律为。
所以。10. 设随机变量的概率密度函数为，试确定的值并求和。
解：由性质由于。
则。分布函数。
11．设，试计算
2）设满足，问至多为多少？
解：（1）因为，故有。
2）即。因为分布函数是一个单调不减的函数，故有。
因此 12．一工厂生产的某种元件的寿命（以小时计）服从参数为的正态分布。若要求，则允许最大为多少？
解：因，现要求。
即要求，应有。
即允许最大为31.20.
13. 某科统考成绩近似服从正态分布，第100名的成绩为60分，问第20名的成绩约为多少分？
解：设第20名的成绩为x,则。
而。又因为。所以。即。
所以 ，查表得，即。
14. 设随机变量和均服从正态分布，，，而，，试证明。
证明： 练习四随机变量函数的分布。
1. 已知的概率分布为：
试求（1）； 2）的概率分布。
概率统计第二章答案
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