习题2-7
1.研究下列函数的连续性，并画出图形：
解：（1）在区间和是初等函数，因此在区间和是连续函数，因为，所以在点右连续，因为，，且，所以在点连续，综上所述，在区间是连续函数。
2）在区间，和是初等函数，因此在上是连续函数，因为，，且，所以在点连续，因为，，所以在点间断，综上所述，在区间是连续函数，在点间断。
3）由题意知，，当时，当时，，因此，在区间，和是初等函数，因此在上是连续函数，因为，，所以在点间断，因为，，所以在点间断，综上所述，在上连续，在点间断。
2. 求下列函数的间断点，并判断其类型。如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义，使其在该点连续：
解：(1)在无定义，因此为函数的间断点，又因为，所以为函数的可去间断点，补充定义，原函数就成为连续函数。
2)在无定义，因此为函数的间断点，由，可得，由，可得，所以为函数的跳跃间断点。
3)在无定义，因此为函数的间断点，由，可得，由，可得，所以为函数的无穷间断点。
4）在无定义，因此为函数的间断点，因为，所以为函数的可去间断点，补充定义，原函数就成为连续函数，因为，所以为函数的无穷间断点。
5)在，无定义，因此和都为函数的间断点，因为，所以为函数的可去间断点，补充定义，原函数就成为连续函数，因为，所以为函数的无穷间断点。
6) 因为，，所以为函数的跳跃间断点。
3. 在下列函数中，当a取什么值时函数在其定义域内连续？
解：(1)在是连续函数，因此只要在时连续，就在其定义域内连续。因为，，所以只要，就在其定义域内连续。
2)在区间是连续函数，因此只要在时连续，就在其定义域内连续。因为， ，所以只要，就在其定义域内连续。
4. 求下列函数的极限：
解：(1);
复习题23. 求下列极限：
解：(1)；
4. 求下列函数的间断点，并判断其类型。如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义，使其在该点连续：
解：（1）因为，，所以是函数的跳跃间断点。
2) 因为在，无定义，因此，为函数的间断点，因为，所以是函数的跳跃间断点；
因为，所以是函数的可去间断点，补充定义，则在连续；
因为，所以是函数的无穷间断点。
5．设f(x)＝
1) 当a为何值时，是的连续点？
2) 当a为何值时，是的间断点？是什么类型的间断点？
解：(1) 因为，所以当时，是的连续点。
2) 当时，是的跳跃间断点。
6. 试证方程至少有一个小于1的正根。
解：设。 因为函数在闭区间上连续，又有， 故。
根据零点存在定理知，至少存在一点，使，即 ．
因此，方程在内至少有一个实根ξ.
b）1. 讨论极限是否存在？
解：由，可得，故。
由，可得，故。
所以为函数的跳跃间断点。
2. 求下列极限。
解：(1) 令，则；
4) 因为，所以。
3．问a,b为何值时，.
解：因为且。所以，由此式可解得，所以，由此式可解得。
4．问a为何值时，函数连续。
解：因为在是初等函数，因此只要在连续，就是连续函数。
由，，，由可解得时，所以当时是连续函数。
5．函数在下列区间有界的是 ( a ).
ab.； cd..
解：用排除法，因为，所以在，，都无界。
6. 函数的可去间断点的个数为( c ).
a. 1； b. 2； c. 3； d. 无穷多个。
解：是的间断点，因为，所以是可去间断点，在时，是无穷间断点。
7. 函数的间断点情况是 ( b ).
a. 不存在间断点； b. 存在间断点；
c. 存在间断点； d. 存在间断点。
解：由题意知，，当时，当时，，因此，在区间，和是初等函数，因此在上是连续函数，因为，，所以在点间断，因为，，且， 所以在点连续，综上所述，只在点间断。
8. 设0解：用夹逼定理，因为，所以，则，又因为，，所以。
9. 试确定的值，使得。
其中是当时比高阶的无穷小。
解：此题用第四章的洛必达法则解。
由题意可知。
由洛必达法则可知。
因为，所以，继续应用洛必达法则得。
因为，所以，继续应用洛必达法则得。
所以，解方程组， 可得。
10. 设函数在区间上连续， 且。
证明： 存在， 使得。
证明： 设，则在区间上连续，且，由零点存在定理可知存在，使，即。
11. 证明方程。
有分别包含于，内的两个实根。
解：原方程可化为。
令，则在，都是连续函数，且，由零点存在定理可知存在，使得，所以方程有分别包含于，内的两个实根。
12. 设在上连续，且。
证明： 在上至少有一点， 使。
证明： 因为由极限的保号性可知，存在，当时有，取区间，则在区间连续且，由零点存在定理可知存在，使。
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