习题 2-1
1．由6名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手1胜选手而负于选手3；选手2胜选手而负于选手；选手3胜选手而负于选手；选手4胜选手而负于选手；选手5胜选手而负于选手；选手6胜选手2而负于选手．若胜一场得1分，负一场得0分，使用矩阵表示输赢状况，并排序．
解用元素表示选手胜选手，表示选手负于选手，则表示输赢状况的矩阵为。
矩阵中第行元素的和表示其对应的第个选手的得分，经计算，因此选手按胜多负少排序为：或或或．
2．设矩阵，已知，求．
解由于，即，解得．
习题 2-2
1．设，，求。
解 （1）．
2．已知，，求．
解。3．设，求。
3）若满足，求；
4）若满足，求．
解 （1）
3）由得，4）由得，4．计算下列矩阵的乘积：
解 （1）．
5．设，求．
解。6．设，1）求及；
2）如果，是否必有？
3）求．解 （1），．
2）由（1）的计算结论知，而，即如果，不一定有．
7．已知，，求．
解。．举反例说明下列命题是错误的：
1）若，则；
2）若，则或；
3）若，且，则．
解 （1）例如取，而．
2）例如取，而且．
3）例如取，，，且而．
9．证明： 如果，则有。
证明 （1）．
10．设均为阶矩阵，证明下列命题是等价的：
证明：（1）（2）因为，所以．
2）（1），所以．
1）（3）因为，所以．
3）（1），所以．
1）（4）因为，所以．
4）（1），所以．
11．设与是两个n阶反对称矩阵，证明：当且仅当时，是反对称矩阵．
证明：先证当时，是反对称矩阵．
因为，所以是反对称矩阵．
反之，若是反对称矩阵，即，则．
习题 2-3
1．判别下列方阵是否可逆，若可逆，求它们的逆矩阵：
解 （1）因，故可逆，又因。
所以。2）因，故可逆，又因。
所以。3）因，故可逆，又因。
所以。4）因，故可逆，又因，所以。
5）因，故不存在．
6）因，故可逆，又因， ，从而．
2．设，求矩阵使满足．
解由第1题中的（4）知。又。所以。
3．设，，，解下列矩阵方程：
解，1）．
4．利用逆矩阵解下列线性方程组：
解 （1）取， ，则原方程组可表示为矩阵方程。
而。所以即．
2）取， ，则原方程组可表示为矩阵方程。
而。所以即．
5．设（为正整数），证明．
证明因为。由）
所以。6．设方阵满足，证明和都可逆，并求和．
证明由，得，所以可逆，且。
又由，得，所以可逆，且。
7．设，求．
解由，得，而，所以。
8．设，求矩阵．
解由，得，而，，所以可逆，从而。
9．设是阶方阵的伴随矩阵，证明：
1）若可逆，则；
2）若，则；
4）若可逆，则；
5）若可逆，则．
证明 （1）因为，而可逆，所以．
2），若，则，从而；
若，则同样有，否则，若，则可逆，从而。
与矛盾．故当时，有．
3）若，由（2）知，，此时命题成立，即；
若，则由，所以．
综上有。4）由于，而可逆，所以，从而．
又，所以，即．
5）因可逆，所以可逆．又由于，，即，所以．
10．设的伴随矩阵，且，求矩阵．
解法一因，而，所以．
由。而，所以．
解法二因，而，所以．
由，所以，而。
又，所以，即。
11．设，其中，求．
解由，得，所以．
而，所以 12．设，其中，求．
解因，，所以。又。故。
13．设矩阵、及都可逆，证明：
1）也可逆，并且；
证明 （1）因。
所以可逆，且．
2）因 所以。
又由（1）知 ，由逆矩阵的唯一性知，．
习题 2-5
1．对下列矩阵作初等行变换，先化为行阶梯形矩阵，再化为行最简形矩阵：
解 （1）行阶梯形矩阵）
行最简形矩阵）．
行阶梯形矩阵）
行最简形矩阵）．
行阶梯形矩阵）
行最简形矩阵）．
行阶梯形矩阵）
行最简形矩阵）．
行阶梯形矩阵）
行最简形矩阵）．
行阶梯形矩阵）
行最简形矩阵）．
2．把可逆矩阵分解为初等阵的乘积．
解因为。即 ，所以．
注意：的分解式不是唯一的．
3．设，求．
解可以写成。
从而 4．用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵：
解 （1）因。
所以。2）因。所以。
所以。所以。5．用初等变换法求矩阵，使，其中，．
解因。所以。
6．求解矩阵方程，其中．
解由，得，即，而 所以。即。
习题 2-6
1．在矩阵中，若存在一个阶子式不等于0，那么的秩如何？若的所有阶子式都为0，那么的秩又如何？
解若中存在阶子式不等于0，则的秩≥；若的所有阶子式均为0，则的秩＜．
2．在秩为的矩阵中，有没有等于0的阶子式？有没有等于0的阶子式？
解在秩为的矩阵中，可能有等于0的阶子式，也可能有等于0的阶子式．
如取，，而二阶子式，，三阶子式，．
3．从矩阵中划去一行得到矩阵，问与的秩的关系怎样？
解或．如第2题中的例子，若划去第三行得，则；若划去第四行得，则．
4．求下列矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式：
解：（1）由知，，且为的一个最高阶非零子式．
2），由知，，且为的一个最高阶非零子式．
由知，，且为的一个最高阶非零子式．
由知，，且为的一个最高阶非零子式．
5），由知，，且为的一个最高阶非零子式．
6），由知，，且为的一个最高阶非零子式．
5．求的值，使矩阵有最小的秩．
解因，所以．要使的秩最小，须，即．
而。因此，当时，，的秩最小．
6．设阶矩阵满足，证明。
证明因，即，所以；
又 ，所以。
7．设是阶方阵（），是的伴随矩阵，证明。
解：当时，，此时，所以．
当时，的所有阶子式均为，即，所以．
当时，至少有一个阶子式不为，即至少有一个非零元素，所以；又时，，所以，因此，而，所以，从而．
综上，有。
第二章习题答案
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