2－1 试求如下序列的傅里叶变换：
解： （1）
2－2 设信号，它的傅里叶变换为，试计算。
解： （
2－3 已知。
求的逆傅里叶变换。
解： 2－4 设和分别是和的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换。
解：(1)， 令则：
3) ，令，则：
4) 由，得。
所以。2－5 已知序列，求其傅里叶变换dtft。
解： 2－6 设，试求的共轭对称序列和共轭反对称序列；并分别用图表示。
解。图形如下题2-6图所示：
题2-6图与序列图。
2－7 设系统的单位脉冲响应，，输入序列为。
完成下面各题：
1） 求出系统输出序列；
2） 分别求出、和的傅里叶变换。解：（1）
2－8 若序列是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：
求序列及其傅里叶变换。
解： 2－9 试用定义计算周期为5，且一个周期内的序列的dfs。
解： 2－10 求出周期序列的dfs。
解：由题知周期为4
2－11 已知周期为的信号，其dfs为，证明dfs的调制特性。
证明： 命题得证。
2－12 设。
将以4为周期进行周期延拓，形成周期序列，画出和的波形，求出的离散傅里叶级数和傅里叶变换。
解： 以4为周期。
和波形图如下题2-12图所示：
题2-12图和波形图。
2－13 如果是一个周期为的周期序列，其dfs为，将看作周期为2的。
周期序列，其dfs为。试利用确定。
解： 按照题意，可以写出：
令，则。所以。
2－14 根据下列离散时间信号的傅里叶变换，确定各对应的信号。
解： （1）
因此。2）因为含有冲激函数，因此，对应的信号为周期信号，设为，其周期为，dfs为，则有：
的dtft，有。
即。而已知。可见。即。
所以 ， 得是以为周期的周期函数。
2－15 计算以下诸序列的点dft，在变换区间内，序列定义为。
34）,其中。
5），其中。
解： （1）
4） 由dft的定义直接计算序列的dft，对变换采样。由于，对在，上采样，求得：
2－16 已知，，求其点dft。
解：， 2－17 设，求其原序列。
解： 2－18 已知下列，，求，其中。
解： 2－19 已知序列的4点离散傅里叶变换为，求其复共轭序。
列的离散傅里叶变换。
解： 2－20 证明dft的对称定理，即假设。
证明：证明：
2－21 如果，证明dft的初值定理。
证明：由idft定义式。
知。2－22 证明离散帕斯维尔定理。若，则。
证明。2－23 令表示点序列的点离散傅里叶变换。本身也是个点序列。
如果计算的离散傅里叶变换得一序列，试用求。
解：按照题意，可以写成。
因为。所以。
2－24 一个长度为8的有限时宽序列的8点离散傅里叶变换，如题2-24图所示。
令。求的16点dft，并画出其图形。
解：按照题意，当为奇数时为零，故可写出。而。所以。
即。所以的图形如题2-26（a）图所示：
题2-26（a）图。
2－25 已知序列。
是的6点dft。
1） 若有限长序列的6点dft 是，求。
2） 若有限长序列的3点dft 满足，，，求。
解： （1）序列的dft由的dft与复指数相乘组成，这相当于是将圆周移位了4点：，所以：
2）序列长度为3，dft变换为，，，其中是的6点dft。由于系数是对在单位圆上等间隔采样6点的结果，所以，，，相当于是对在单位圆上等间隔采样3点，所以。
在区间外，因而；
就得到。2－26 在很多实际应用中都需要将一个序列与窗函数相乘。设是一个点的序。
列，是汉明窗：
试用的dft求加窗序列的dft。
解：首先用复指数表示汉明窗。
因此。如果。
则。所以加窗序列的dft为。
2－27 已知求和。
欲使两卷积相同，则循环卷积的长度的最小值应为多少？
解：， l=4+2-1=5
2－28 已知序列，若是与它本身的4点循环卷。
积，求及其4点的。
解：的4点：
2－29和都是长度为6点的有限长序列，和分别是和的8
点dft。若组成乘积，对作8点idft得到序列，问在哪些点上等于以下线性卷积：
解：和都是长度为6点，则的长度为11点，而为与的8点循环卷积。根据线性卷积与循环卷积的关系，8点的循环卷积中，前3个点将由线性卷积的叠加，而后5个点等于线性卷积。
2－30 序列。
1） 求的4点dft；
2） 若是与它本身的4点循环卷积，求及其4点dft；
3） ，求与的4点循环卷积。
解： 由题可知：
得到 即
3）由题知
得。2－31 序列为。
计算的5点dft，然后对得到的序列求平方：
求的5点dft反变换。
解：序列的5点dft等于乘积，所以是与本身5点圆周卷积的结果：
一个简单的计算圆周卷积的方法是先进行线性卷积，然后将结果叠加：
与本身的线性卷积的结果为。
用**法计算圆周卷积，就会得到。
题2-31表。
所以。2－32 考虑两个序列：
若组成，其中、分别是和的5点dft，对作dft反变换得到序列，求序列。
解： 因为是两个5点dft和的乘积，所以是和的5点圆。
周卷积。可以用**法计算圆周卷积，也可以用先线性卷积再重叠的方法，还可以用先将dft相乘再对乘积作dft反变换的方法。本题中，是一个简单序列，我们可以用分析法。
和的5点圆周卷积是：
因为，，且，5点圆周卷积是：
圆周卷积等于圆周移位序列的值从到求和的结果，因为是。
可以看作是长度为5 的序列）可以通过反向读取序列得到，从开始：
是的前5个值相加的结果，得到。将此序列圆周右移1后，就有。
前4个值相加后得到。继续求解，求得：
2－33 两个有限长序列和的零值区间为；
对每个序列作20点dft，得和，如果，，。试问在哪些点上？为什么？
解： 设，而，的长度为27，的长度为20，且。
当上述周期延拓序列中无混叠的点上有：
2－34 两个有限长序列和，在区间以外的值为，两个序列圆周卷积后。
得到的新序列为。
其中。若仅在时有非零值，确定为哪些值时，一定等于和的线性卷积？
解： 由于，等于和的线性卷积的点是在区间内，圆周移位等于线性移位的那些点。由于仅仅在区间内有非零值，我们可以看到杂区间内。
所以当时线性卷积与圆周卷积相等。
2－35 求证循环卷积定理。设有限长序列和的长度分别为和，取。
且和分别是两个序列的点dft。
1） 若，求证；
2） 若，求证：。
证明：（1）点dft等于的序列为：
, 需要用和来表示，由于， 将代入到的表达式中，有：, 交换求和顺序，则， ,括号内的项等于，有：, 2） 由定义， 。若想用和来表示，将下面的表达式代入上式得：
交换求和顺序，上式变成：
第二个求和就是，有：
所以，是和圆周卷积的倍：
问题得证。2－36 若和都是长为点的序列，和分别是两个序列的点。
dft。证明：
证明：令和分别是和的点dft ，是的点dft，则的dft是，由性质有。
让计算，就可以得到结论：
2－37 已知实序列的８点dft前５个值为．
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