普通高等教育“十一五”国家级规划教材。
概率论与数理统计第四版。
浙江大学盛骤谢式千潘承毅。
教案。第二章随机变量及其分布。
2．1 随机变量、离散型随机变量及其分布。
教学目标：1．理解随机变量的概念。
2．理解离散型随机变量及其分布律，掌握两点分布，二项分布，泊松分布并能利用这些分布求有关概率。
教学重点、难点：
教学重点：1. 离散型随机变量的分布律。
2.重伯努利试验的二项分布。
教学难点： 求某随机变量x的分布律。
教学内容：一、随机变量的定义。
解决问题：将试验结果数量化。
例：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面和反面的情况，样本空间是：
s=以x记三次抛掷得到正面h的总数，则s中的每一个样本点e，x都有一个数与它对应：
定义：随试验结果而变的量x为随机变量。
如图：x=x(e)－－为s上的单值函数，x为实数。
二、离散型随机变量的分布律。
1、离散型随机变量。
定义：取值有限或可列无限的随机变量为离散型随机变量。
2、离散量的概率分布(分布律)
设离散型随机变量x所有可能取值为（），x取各个可能直的概率，即事件的概率为，
则离散型随机变量x的分布律为。
例1 设一汽车在开往目的地的道路上需要经过四组信号灯，每组信号灯以0.5的概率允许或禁止汽车通过，以x表示汽车首次停下时已通过的信号灯的组数（设各组信号灯的工作是相互独立的），求x的分布律。
解：以表示每组信号灯禁止汽车通过的概率，则x 的分布律为。
其中 或者。
三、三种典型的离散型随机变量。
一-1分布。
设随机变量只可能取两个值0与1，它的分布律是。
则称x服从以为参数的0-1分布或两点分布。
该分布也可指随机试验的样本空间只包含两个元素的情况。
二）、伯努利实验、二项分布。
1.定义：若试验e只有两个可能的结果，该试验称为伯努利实验，若重复独立进行次，称这一串重复的独立的试验为重伯努利实验。
例如：放回抽样。
2.分布律。
以x表示重伯努利实验中事件a发生的次数，各次试验相互独立，指定有次试验中事件a发生，在其他次试验中事件a 不发生，则其概率为：
为事件a发生的概率。
又这种指定方式有种，这些指定方式下的试验结果两两互不相容，所以在次试验中发生次a事件的概率为，即。
重伯努利试验的分布又称为二项分布，记作。
注：时二项分布为0-1分布。
例：按规定某种型号电子元件的使用寿命超过1500小时的为一级品，已知某一大批产品的一级品率为0.2，现从中随机地抽查20只，问这20只元件中恰有只为一级品的概率是多少？
分析：这是不放回抽样，但由于这批元件的总数很大，且抽查的元件数量相对很小，所以可看成是20重伯努利实验。
解：，，例2：某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中两次的概率？
解：该实验为400重伯努利实验。
则至少击中两次的概率为。
练习：习题二6,7,8
三）、泊松分布。
设随机变量x所有可能取得值为0，1，2，……而取各个值的概率为。
其中是常熟，则称x服从参数的泊松分布，记作。
讲解习题二11,12,13
2.2 随机变量的分布函数。
教学目标：1．掌握泊松分布，超几何分布，并能利用这些分布求有关概率。
2．理解随机变量的分布函数的概念及其性质。
教学重点、难点：
教学重点：1. 泊松分布及其应用。
2. 离散型随机变量的分布函数的求解。
3. 根据分布函数求某一区间的概率。
教学难点： 求随机变量x的分布函数。
教学内容：首先研究的是随机变量所取的值落在一个区间的概率
下面定义。一、分布函数。
设x是一个随机变量，是任意实数，函数，
称为x的分布函数。
所以，对于任意实数，有。
二、分布函数的性质。
是一个不减函数。
对于任意实数，当时，有，且，
三、分布函数及全歼概率的求解。
例1：设随机变量x的分布律为。
求x的分布函数，并求
解： 略 练习：习题二17（2）
2.3 连续型随机变量及其概率密度。
教学目标：1．掌握概率密度的性质及有关计算；
2．掌握均匀分布，指数分布，正态分布的性质与有关计算。
教学重点、难点：
教学重点：1. 离散型随机变量的分布函数的求解。
2. 根据分布函数求某一区间的概率。
教学难点： 求随机变量x的分布函数及概率密度。
教学内容：一、定义： 对于随机变量x的分布函数， 若存在非负的函数，使对于任意实数有：
则称x为连续型随机变量，称为x的概率密度函数，简称概率密度。
二、概率密度的性质。
对任意实数。
若在点处连续，则有。
三、相关计算。
例：设随机变量x具有概率密度。
1)确定常熟，（2）求x的分布函数，（3）求。
解：（1）由
练习：习题二19
注：对于连续型随机变量x来说，它取任意指定实数值的概率均为0，即。
四：三种重要的连续型随机变量。
一）、均匀分布。
1.定义若连续型随机变量x具有概率密度。
则称x在上服从均匀分布，记作。
则其分布函数为。
2应用和计算。
例：设电阻值r是一个随机变量，均匀分布在，求r的概率密度及r落在的概率。
解：r服从均匀分布，则。
练习：习题二25
二）、指数分布。
1.定义若连续型随机变量x具有概率密度。
其中为常数，则称x服从参数为的指数分布。
则其分布函数为。
2. 应用和计算。
例：设顾客在某银行的窗口等待服务的时间x（min）服从指数分布，其概率密度为。
某顾客在窗口等待服务，若超过10min，它就离开，他一个月要到银行5次，以y表示一个月内未等到服务而离开窗口的次数，写出y的分布律，并求？
解：y服从5重伯努利实验，该试验中事件a表示未等到服务而离开，则。
为事件a发生的概率，即。
三）、正态分布。
1.定义若连续型随机变量x具有概率密度为。
其中为常数，则称x服从参数为的正态分布或高斯分布。记作。
当时为标准正态分布，其概率密度为。
2.4 随机变量的函数的分布。
教学目标：1. 掌握离散型随机变量的分布律。
2. 掌握连续型随机变量函数的概率密度。
教学重点、难点：
教学重点：1. 由离散型随机变量的分布律求函数的分布律。
2. 由连续型随机变量的概率密度求函数的概率密度。
1． 教学难点： 求函数的概率密度函数。
教学内容：本节讨论的是：已知随机变量x的概率分布，去求得它的函数的概率分布。
例1：设随机变量x具有以下的分布律，试求的分布律。
解：y所有可能的取值为0,1,4，由。
得y的分布律为。
练习：设随机变量x的分布律为。
求的分布律。
例2：设随机变量x具有概率密度。
求随机变量的概率密度。
解：分别x,y的分布函数为，则。
例2：设随机变量x具有概率密度，，求的概率密度。解： =
练习：习题二38
习题二讲解。
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