第二章开放式光腔与高斯光束。
1. 证明如图2.1所示傍轴光线进入平面介质界面的光线变换矩阵为。
证明：设入射光线坐标参数为，出射光线坐标参数为，根据几何关系可知。
傍轴光线则，写成矩阵形式。
得证。2. 证明光线通过图2.2所示厚度为d的平行平面介质的光线变换矩阵为。
证明：设入射光线坐标参数为，出射光线坐标参数为，入射光线首先经界面1折射，然后在介质2中自由传播横向距离d，最后经界面2折射后出射。根据1题的结论和自由传播的光线变换矩阵可得
化简后得证。
3．试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。
证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示：
其往返矩阵为：
由于是共焦腔，则有。
将上式代入计算得往返矩阵。
可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。
于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。
4.试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。
解：共轴球面腔稳定性条件其中。
对平凹共轴球面镜腔有则，再根据稳定性条件。
可得。对双凹共轴球面腔有，则根据稳定性条件可得。
对凹凸共轴球面镜腔有，则根据稳定性条件可得。
5. 激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m的凸面镜和曲率半径为2m的凹面镜组成，工作物质长0.5m，其折射率为1.52，求腔长l在什么范围内是稳定腔。
解：设两腔镜和的曲率半径分别为和，
工作物质长，折射率。
当腔内放入工作物质时，稳定性条件中的腔长应做等效，设工作物质长为，工作物质左右两边剩余的腔长分别为和，则。设此时的等效腔长为，则光在腔先经历自由传播横向距离，然后在工作物质左侧面折射，接着在工作物质中自由传播横向距离，再在工作物质右侧面折射，最后再自由传播横向距离，则。
所以等效腔长等于。
再利用稳定性条件。
由(1)解出
则。所以得到：
6. 图2.3所示三镜环形腔，已知，试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径r在什么范围内该腔是稳定腔。
图示环形腔为非共轴球面镜腔。在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，式(2.2.
7)中的，对于在与此垂直的平面内传输的弧矢光线，，为光轴与球面镜法线的夹角。
图2.1解：
稳定条件 左边有所以有。
对子午线对弧矢线：
对子午线和弧矢光线分别代入上述不等式得。
子午光线。弧矢光线。
任意光线需同时满足子午线与弧矢线的条件得。
7. 有一方形孔径的共焦腔氦氖激光器，l=30cm，方形孔边长，，镜的反射率为，其他的损耗以每程0.003估计。
此激光器能否作单模运转？如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择模，小孔的边长应为多大？试根据图2.
5.5作一个大略的估计。氦氖增益由公式。
估算（为放电管长度，假设）
解：模为第一高阶横模，并且假定和模的小信号增益系数相同，用表示。要实现单模运转，必须同时满足下面两个关系式。
根据已知条件求出腔的菲涅耳数。
由图2.5.5可查得和模的单程衍射损耗为。
氦氖增益由公式。
计算。代入已知条件有。将、、、和的值代入i、ii式，两式的左端均近似等于1.05，由此可见式ii的条件不能满足，因此该激光器不能作单模运转。
为了获得基模振荡，在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来增加衍射损耗。若满足ii式的条件，则要求。
根据图2.5.5可以查出对应于的腔菲涅耳数。
由菲涅耳数的定义可以算出相应的小孔阑的边长。
同理利满足i式的条件可得。
因此，只要选择小孔阑的边长满足即可实现模单模振荡。
8．试求出方形镜共焦腔面上模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？
解：在厄米-高斯近似下，共焦腔面上的模的场分布可以写成。
令，则i式可以写成。
式中为厄米多项式，其值为。
由于厄米多项式的零点就是场的节点位置，于是令，得。
考虑到，于是可以得到镜面上的节点位置。
所以，模在腔面上有三条节线，其x坐标位置分别在0和处，节线之间位置是等间距分布的，其间距为；而沿y方向没有节线分布。
9. 求圆形镜共焦腔和模在镜面上光斑的节线位置。
解：在拉盖尔—高斯近似下，可以写成如下的形式。
对于，两个三角函数因子可以任意选择，但是当m为零时，只能选余弦，否则无意义。
对于： 并且，代入上式，得到。
取余弦项，根据题中所要求的结果，我们取，就能求出镜面上节线的位置。即。
同理，对于，
代入上式并使光波场为零，得到。
显然，只要即满足上式。
镜面上节线圆的半径分别为：
10. 今有一球面腔，，，试证明该腔为稳定腔；求出它的等价共焦腔的参数；在图上画出等价共焦腔的具体位置。
解：该球面腔的g参数为。
由此，，满足谐振腔的稳定性条件，因此，该腔为稳定腔。
由稳定腔与共焦腔等价条件。
和。可得两反射镜距离等效共焦腔中心o点的距离和等价共焦腔的焦距分别为。
根据计算得到的数据，在下图中画出了等价共焦腔的具体位置。
16．某高斯光束腰斑大小为=1.14mm，。求与束腰相距30cm、10m、1000m远处的光斑半径及波前曲率半径r。
解：入射高斯光束的共焦参数。
根据。求得：
17．若已知某高斯光束之=0.3mm，。求束腰处的参数值，与束腰相距30cm处的参数值，以及在与束腰相距无限远处的值。
解：入射高斯光束的共焦参数。
根据，可得。
束腰处的q参数为：
与束腰相距30cm处的q参数为：
与束腰相距无穷远处的q参数为：
21．某高斯光束=1.2mm，。今用f=2cm的锗透镜来聚焦，当束腰与透镜的距离为10m、1m、10cm、0时，求焦斑的大小和位置，并分析所得的结果。
解：入射高斯光束的共焦参数。
设入射高斯光束的参数为，像高斯光束的参数为，根据abcd法则可知。
其中 ； 利用以上关系可得。
从上面的结果可以看出，由于f远大于f，所以此时透镜一定具有一定的聚焦作用，并且不论入射光束的束腰在何处，出射光束的束腰都在透镜的焦平面上。
22．激光器输出光， =3mm，用一f=2cm的凸透镜距角，求欲得到及时透镜应放在什么位置。
解：入射高斯光束的共焦参数。
设入射高斯光束的参数为，像高斯光束的参数为，根据abcd法则可知。
其中 ； 利用以上关系可得。
时，，即将透镜放在距束腰1.39m处；
时，，即将透镜放在距束腰23.87m处。
23．如图2.6光学系统，如射光，求及。
图2.2解：先求经过一个透镜的作用之后的束腰半径及位置。
由于，所以。
2cm所以对第二个透镜，有。
已知，根据
其中 ； 得。
24．某高斯光束=1.2mm，。今用一望远镜将其准直。
主镜用镀金反射镜r=1m，口径为20cm；副镜为一锗透镜， =2.5cm，口径为1.5cm；高斯束腰与透镜相距=1m，如图2.
7所示。求该望远系统对高斯光束的准直倍率。
图2.3解：入射高斯光束的共焦参数为。
由于远远的小于，所以高斯光束经过锗透镜后将聚焦于前焦面上，得到光斑的束腰半径为。
这样可以得到在主镜上面的光斑半径为。
即光斑尺寸并没有超过主镜的尺寸，不需要考虑主镜孔径的衍射效应。
这个时候该望远系统对高斯光束的准直倍率为。
25．激光器的谐振腔有两个相同的凹面镜组成，它出射波长为的基模高斯光束，今给定功率计，卷尺以及半径为a的小孔光阑，试叙述测量该高斯光束公焦参数f的实验原理及步骤。
解：一、实验原理。
通过放在离光腰的距离为z的小孔(半径为a)的基模光功率为。
i)式中，为总的光功率，为通过小孔的光功率。记，则有。
ii)注意到对基模高斯光束有。
在(ii)式的两端同时乘以，则有。
令。iii)
则。解此关于f的二次方程，得。
因为、、、都可以通过实验测得，所以由(iii)及(iv)式就可以求得基模高斯光束的共焦参数f。
二、实验步骤。
1．如上图所示，在高斯光束的轴线上某一点b处放入于光轴垂直的光阑(其孔半径为a)，用卷尺测量出b到光腰o(此题中即为谐振腔的中心)的距离z；
2．用激光功率计测出通过小孔光阑的光功率；
3．移**阑，量出高斯光束的总功率；
4．将所得到的数据代入(iii)及(iv)式即可求出f(根据实际情况决定(iv)式根号前正负号的取舍)。
28. 试用自变换公式的定义式（2.12.2），利用q参数来推导出自变换条件式。
证明：设高斯光束腰斑的q参数为，腰斑到透镜的距离为，透镜前表面和后表面的q参数分别为、，经过透镜后的焦斑处q参数用表示，焦斑到透镜的距离是=，透镜的焦距为f。
根据q参数变换，可以求出前表面、后表面、及焦斑处的q参数，分别是：
透镜前表面：
透镜后表面：
焦斑的位置：
把经过变换的代入到焦斑位置的q参数公式，并根据自再现的条件，得到：
可得。31.试计算，，，的虚共焦腔的和。
若想保持不变并从凹面镜端单端输出，应如何选择？反之，若想保持不变并从凸面镜输出，如何选择？在这两种单端输出条件下，和各为多大？
题中为镜的横截面半径，为其曲率半径。
解：（1）镜的单程放大率为。
镜的单程放大率为。
所以 2）要从镜单端输出，则要求镜反射的光全部被镜反射，由于镜反射的光为平行光，所以要求。
3）要从镜单端输出，则要求镜反射的光全部被镜反射，所以要求。
4）和不变。
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