第二章习题解答。
1 试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限次，而且两次往返即自行闭合。
证明如下：（共焦腔的定义——两个反射镜的焦点重合的共轴球面腔为共焦腔。共焦腔分为实共焦腔和虚共焦腔。
公共焦点在腔内的共焦腔是实共焦腔，反之是虚共焦腔。两个反射镜曲率相等的共焦腔称为对称共焦腔，可以证明，对称共焦腔是实双凹腔。）
根据以上一系列定义，我们取具对称共焦腔为例来证明。
设两个凹镜的曲率半径分别是和，腔长为，根据对称共焦腔特点可知：
因此，一次往返转换矩阵为。
把条件带入到转换矩阵t，得到：
共轴球面腔的稳定判别式子。
如果或者，则谐振腔是临界腔，是否是稳定腔要根据情况来定。本题中 ，因此可以断定是介稳腔（临界腔），下面证明对称共焦腔在近轴光线条件下属于稳定腔。
经过两个往返的转换矩阵式，
坐标转换公式为：
其中等式左边的坐标和角度为经过两次往返后的坐标，通过上边的式子可以看出，光线经过两次往返后回到光线的出发点，即形成了封闭，因此得到近轴光线经过两次往返形成闭合，对称共焦腔是稳定腔。
2 试求平凹、双凹、凹凸共轴球面腔的稳定条件。
解答如下：共轴球面腔的，如果满足，则腔是稳定腔，反之为非稳腔，两者之间存在临界腔，临界腔是否是稳定腔，要具体分析。
下面我们就根据以上的内容来分别求稳定条件。
对于平凹共轴球面腔。
所以，如果，则是稳定腔。因为和均大于零，所以不等式的后半部分一定成立，因此，只要满足，就能满足稳定腔的条件，因此，就是平凹腔的稳定条件。
类似的分析可以知道，凸凹腔的稳定条件是：,且。
双凹腔的稳定条件是第一种情况）
且（第二种情况）
对称双凹腔）
求解完毕。3 激光腔的谐振腔由一曲率半径为1m的凸和曲率半径为2m的凹面镜构成，工作物质长度为0.5m，其折射率为1.52，求腔长在什么范围内谐振腔是稳定的。
解答如下：设腔长为，腔的光学长度为，已知，根据，代入已知的凸凹镜的曲率半径，得到：
因为含有工作物质，已经不是无源腔，因此，这里l应该是光程的大小（或者说是利用光线在均匀介质里传播矩阵）。
即，代入上式，得到：
要达到稳定腔的条件，必须是，按照这个条件，得到腔的几何长度为：
单位是米。解答完毕。
5 有一方形孔径共焦腔氦氖激光器，腔长l=30cm，方形孔径边长为d=2a=0.12cm，λ=632.8nm，镜的反射率为r1=1，r2=0.
96，其他损耗以每程0.003估计。此激光器能否做单模运转？
如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔光阑来选择tem00模，小孔的边长应为多大？试根据图2.5.
5作一大略的估计。氦氖激光器增益由公式估算，其中的l是放电管长度。
分析：如果其他损耗包括了衍射损耗，则只考虑反射损耗及其他损耗的和是否小于激光器的增益系数，增益大于损耗，则可产生激光振荡。
如果其他损耗不包括衍射损耗，并且菲涅尔数小于一，则还要考虑衍射损耗，衍射损耗的大小可以根据书中的公式δ00=10.9*10-4.94n来确定，其中的n是菲涅尔数。
解答：根据，可以知道单程增益g0l=ln(1+0.0003l/d)=0.0723
由于反射不完全引起的损耗可以用公式2.1.24或者2.1.25来衡量。
根据2.1.24得到：
r≈-0.5lnr1r2=0.0204
根据题意，总的损耗为反射损+其他损耗，因此单程总损耗系数为。
=0.0204+0.0003如果考虑到衍射损耗，则还要根据菲涅尔数来确定衍射损系数：
此方形共焦腔氦氖激光器的菲涅尔数为：n=a2/(lλ)=7.6，菲涅尔数大于一很多倍，因此可以不考虑衍射损耗的影响。
通过以上分析可以断定，此谐振腔可以产生激光振荡。又根据氦氖激光器的多普勒展宽达到1.6ghz，而纵模及横模间隔根据计算可知很小，在一个大的展宽范围内可以后很多具有不同模式的光波振荡，因此不采取技术措施不可能得到基模振荡。
为了得到基模振荡，可以在腔内加入光阑，达到基模振荡的作用。在腔镜上，基模光斑半径为：
因此，可以在镜面上放置边长为2ω0s的光阑。
解答完毕。6 试求出方形镜共焦腔面上模的节线位置，这些节线是等距分布吗？
解答如下：方形镜共焦腔自再现模满足的积分方程式为。
经过博伊德—戈登变换，在通过厄密-高斯近似，可以用厄密-高斯函数表示镜面上场的函数。
使就可以求出节线的位置。由上式得到：
这些节线是等距的。
解答完毕。7 求圆形镜共焦腔和模在镜面上光斑的节线位置。
解答如下：圆形镜共焦腔场函数在拉盖尔—高斯近似下，可以写成如下的形式。
（这个场对应于，两个三角函数因子可以任意选择，但是当m为零时，只能选余弦，否则整个式子将为零）
对于： 并且，代入上式，得到。
我们取余弦项，根据题中所要求的结果，我们取，就能求出镜面上节线的位置。既。
对于，可以做类似的分析。
代入上式并使光波场为零，得到。
显然，只要即满足上式。
最后镜面上节线圆的半径分别为：
解答完毕。8 今有一球面腔，两个曲率半径分别是r1=1.5m，r2=-1m，l=80cm，试证明该腔是稳定腔，求出它的等价共焦腔的参数，在图中画出等价共焦腔的具体位置。
解：共轴球面腔稳定判别的公式是，这个公式具有普适性（教材36页中间文字部分），对于简单共轴球面腔，可以利用上边式子的变换形式判断稳定性，其中。
题中， 在稳定腔的判别范围内，所以是稳定腔。
任意一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价，一个一般稳定球面腔唯一对应一个共焦腔，他们的行波场是相同的。
等价共焦腔的参数包括：以等价共焦腔的腔中心为坐标原点，从坐标原点到一般稳定球面两个腔镜面的坐标和，再加上它的共焦腔的镜面焦距，这三个参数就能完全确定等价共焦腔。
根据公式（激光原理p66-2.8.4）得到：
因此。等价共焦腔示意图略。
9 某二氧化碳激光器采用平-凹腔，l=50cm，r=2m，2a=1cm，波长λ=10.6μm，试计算镜面上的光斑半径、束腰半径及两个镜面上的损耗。
解：此二氧化碳激光器是稳定腔，其中平面镜的曲率半径可以看作是无穷大。
根据公式（激光原理p67-2.8.6或2.8.7）得到：
其中第一个腰斑半径对应平面镜。上式中是这个平凹腔的等价共焦腔镜面上的腰斑半径，并且根据一般稳定球面腔与等价共焦腔的性质，他们具有同一个束腰。
根据共焦腔束腰光斑半径与镜面上光斑半径的关系可知：
作为稳定腔，损耗主要是衍射损，衍射损耗与镜面上的菲涅尔数有关，在损耗不大的情况下，是倒数关系。
即：根据公式（激光原理p69-2.8.18或2.8.19）分别求出两个镜面的菲涅尔数。
根据衍射损耗定义，可以分别求出：
解答完毕。10 证明在所有菲涅尔数相同而曲率半径r不同的对称稳定球面腔中，共焦腔的衍射损耗最低。这里l表示腔长，a是镜面的半径。
证明：在对称共焦腔中，
11 今有一平面镜和一个曲率半径为r=1m的凹面镜，问：应该如何构成一个平—凹稳定腔以获得最小的基模远场发散角，画出光束发散角与腔长的关系。
解答：我们知道，远场发散角不仅和模式（频率）有关，还和腔的结构有关。根据公式2.
6.14得到：，如果平面镜和凹面镜构成的谐振腔所对应的等价共焦腔焦距最大，则可以获得最小的基模光束发散角。
代入发散角公式，就得到最小发散角为：
发散角与腔长的关系式：
解答完毕。13 某二氧化碳激光器材永平凹腔，凹面镜的r=2m，腔长l=1m，试给出它所产生的高斯光束的束腰腰斑半径的大小和位置，该高斯光束的焦参数和基模发散角。
解答：解答完毕。
14 某高斯光束束腰光斑半径为1.14mm，波长λ=10.6μm。求与束腰相距30厘米、100厘米、1000米远处的光斑半径及相应的曲率半径。
解答：根据公式（激光原理p71-2.9.4, 2.9.6）
把不同距离的数据代入，得到：，
曲率半径。与不同距离对应的曲率半径为：，
解答完毕。15 若已知某高斯光束的束腰半径为0.3毫米，波长为632.8纳米。求束腰处的q参数值，与束腰距离30厘米处的q参数值，与束腰相距无限远处的q值。
解答：束腰处的q参数值实际上就是书中的公交参量（激光原理p73-2.9.12）：
根据公式（激光原理p75-2.10.8）
可以得到30厘米和无穷远处的q参数值分别为。
无穷远处的参数值为无穷大。
解答完毕。16 某高斯光束束腰半径为1.2毫米，波长为10.
6微米。现在用焦距f=2cm的锗透镜聚焦，当束腰与透镜距离分别为10米，1米，10厘米和0时，求焦斑大小和位置，并分析结果。
解答：根据公式（激光原理p78-2.10.17和2.10.18）
当束腰与透镜距离10米时。
同理可得到：
解答完毕。17 二氧化碳激光器输出波长为10.6微米的激光，束腰半径为3毫米，用一个焦距为2厘米的凸透镜聚焦，求欲得到焦斑半径为20微米及2.5微米时，透镜应该放在什么位置。
解答：根据公式（激光原理p78-2.10.18）
上式中束腰到透镜的距离l就是我们要求的参数，其他各个参数都为已知，代入题中给出的数据，并对上式进行变换，得到。
当焦斑等于20微米时，（透镜距束腰的距离）
当焦斑等于2.5微米时，
此提要验证。
18 如图2.2所示，入射光波厂为10.6微米，求及。
解答：经过第一个透镜后的焦斑参数为：
经过第二个透镜后的焦参数为：
解方程可以求出题中所求。
19 某高斯光束束腰腰斑半径为1.2毫米，波长为10.6微米。
现在用一个望远镜将其准直。主镜用曲率半径为1米的镀金反射镜，口径为20厘米；副镜为一个焦距为2.5厘米，口径为1.
5厘米的锗透镜；高斯光束束腰与透镜相距1米，如图所示。求该望远镜系统对高斯光束的准直倍率。
解答：根据公式（激光原理p84-2.11.19）
其中，为望远镜主镜与副镜的焦距比。题中的反射镜，相当于透镜，且曲率半径的一半就是透镜的焦距。已知：，，
经过验证，光斑在第一个透镜表面形成的光斑半径小于透镜镜面尺寸，衍射效应很小，因此可以用准直倍率公式）
代入准直倍率公式得到：
解答完毕。20 激光器的谐振腔有两个相同的凹面镜组成，它出射波长为λ的基模高斯光束，今给定功率计，卷尺以及半径为a的小孔光阑，试叙述测量该高斯光束焦参数f的实验原理及步骤。
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