第2章精选题答案。
1、证明方程在中有且只有一个根，使得二分法求误差不大于的根需要迭代多少次？（不必求根）
解：设有。在上连续且。
在上有根。又当时，
所以。综上，方程在中有且只有一个根。
采用二分法计算，其误差计算公式为。
对于本题有。
解得。取10既可满足。
2、求方程在附近的根，将其改写为如下4种不同的等价形式，构造相应的迭代公式，试分析它们的收敛性，选一种收敛速度最快的迭代公式求方程的根，精确至四位有效数字。
解：对①，局部收敛。
②，局部收敛。
③，发散。④，发散。
由于越小，收敛速度越快。
故取②式进行迭代计算。
迭代公式为。
满足终止条件。
故精确至四位有效数字的近似值为。
3、用迭代法求方程的根，精确至三位有效数字。
解：设，画图可知，该方程最多有两个根。
综上， 求。迭代公式为，它对任意的均收敛。
取迭代可得满足终止条件。
故。求。迭代公式为，它对任意的均收敛。
取，同理可得：。
4、给定函数，设对一切，存在且，证明对于。
内的任意定数，迭代过程均收敛于的根。
证明： 为单调增函数。
故的根是唯一的（假定方程有根）
迭代函数。由于。
则，有，亦，故此迭代过程收敛。
综上，对于内的任意定数，迭代过程均收敛于。
的根。5、用牛顿法求在附近的根，要求计算结果准确到4位有效数字，根的准确值。
解：迭代函数。
迭代公式：
取计算得到满足精度要求的近似值为。
六、应用牛顿法于方程①；②分别导出求的迭代公式，并求极限。
解：对①。迭代函数。
迭代公式：。
对②。同理，迭代公式：。
记则。有（具体证明可参考p26定理7的证明）
对①，。对②，。
7、讨论计算的迭代公式的收敛阶。
解：由题知：
迭代函数为。
法一：有，。
经计算可知：,所以此迭代公式三阶收敛。
法二：有。对上式两端连续求导三次，得。
将依次代入以上三式，并利用，得。
所以此迭代公式三阶收敛。
8、是的几重根？取分别用牛顿公式与求重根的修正牛顿公式计算此根的近似值，精确至。
解： 故是的3重根，即m=3.
①牛顿迭代公式为：
②修正牛顿迭代公式为：
用①进行计算，取，计算得到满足要求。
用②进行计算，取，计算得到满足要求。
第二章作业题答案
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