第二章控制系统的数学模型习题及答案。
2-1 试建立图2-27所示各系统的微分方程。其中外力，位移和电压为输入量；位移和电压为输出量；（弹性系数），（阻尼系数），（电阻），（电容）和（质量）均为常数。
解（a）以平衡状态为基点，对质块进行受力分析（不再考虑重力影响），如**2-1(a)所示。根据牛顿定理可写出。
整理得。b）如**2-1(b)所示，取a,b两点分别进行受力分析。对a点有。
对b点有。
联立式（1）、（2）可得：
c) 应用复数阻抗概念可写出。
联立式（3）、（4），可解得：
微分方程为：
(d) 由**2-1（d）可写出。
联立式（5）、（6）、（7），消去中间变量和，可得：
微分方程为
2-2 试证明图2-28中所示的力学系统(a)和电路系统(b)是相似系统（即有相同形式的数学模型）。
解。a) 取a、b两点分别进行受力分析，如**2-2(a)所示。对a点有。
对b点有。
对式（1）、（2）分别取拉氏变换，消去中间变量，整理后得。
b) 由图可写出。整理得。
比较两系统的传递函数，如果设则两系统的传递函数相同，所以两系统是相似的。
2-3 假设某容器的液位高度与液体流入量满足方程，式中为液位容器的横截面积，为常数。若与在其工作点附近做微量变化，试导出关于的线性化方程。
解将在处展开为泰勒级数并取一次近似。
代入原方程可得。
在平衡工作点处系统满足。
式（2），（3）相减可得的线性化方程。
2-4 试求图2-29所示各信号的象函数。解。a）
b）c）= 2-5 求下列各拉氏变换式的原函数。 (1) (2)
解(1) 原式 ＝
x（t）＝3) 原式 ＝
2-6 已知在零初始条件下，系统的单位阶跃响应为，试求系统的传递函数和脉冲响应。解单位阶跃输入时，有，依题意。
2-7 已知系统传递函数，且初始条件为，，试求系统在输入作用下的输出。解系统的微分方程为。
考虑初始条件，对式（1）进行拉氏变换，得。
2-8 求图2-30所示各有源网络的传递函数。
解(a) 根据运算放大器 “虚地”概念，可写出。
b) c)
2-9 某位置随动系统原理框图如图2-31所示，已知电位器最大工作角度＝3300，功率放大器放大系数为。分别求出电位器的传递函数，第一级和第二级放大器的放大系数，；画出系统的结构图；
1） 求系统的闭环传递函数。
解(1) 电位器的传递函数。
根据运算放大器的特性，可分别写出两级放大器的放大系数为。
(2) 可画出系统结构如**2-9所示：
2-10 飞机俯仰角控制系统结构图如图2-32所示，试求闭环传递函数。
解经结构图等效变换可得闭环系统的传递函数。
2-11 已知系统方程组如下：
试绘制系统结构图，并求闭环传递函数。
解系统结构图如**2-11所示。
利用结构图等效化简或梅逊增益公式可求出系统的闭环传递函数为。
2-12 试用结构图等效化简求图2-32所示各系统的传递函数。
解 （a）所以：
b）所以：
（c）所以：
d）所以：
e）所以：
2-13 已知控制系统结构图如图2-34所示，求输入时系统的输出。
解由图可得。又有。则。
即。2-14 试绘制图2-36所示系统的信号流图。
解。2-15 试绘制图2-36所示信号流图对应的系统结构图。
解。2-16 试用梅逊增益公式求2-12题中各结构图对应的闭环传递函数。
解 （a）图中有1条前向通路，3个回路，有1对互不接触回路。
b）图中有2条前向通路，1个回路。
c）图中有1条前向通路，3个回路。
d）图中有2条前向通路，5个回路。
e）图中有2条前向通路，3个回路。
2-17 试用梅逊增益公式求图2-37中各系统的闭环传递函数。
解 （a）图中有1条前向通路，4个回路。
则有 b）图中有2条前向通路，3个回路，有1对互不接触回路。
则有 c）图中有4条前向通路，5个回路。
则有 d）图中有2条前向通路，5个回路。
则有 e）图中有2条前向通路，3个回路，有1对互不接触回路。
则有 2-18 已知系统的结构图如图2-38所示，图中为输入信号，为干扰信号，试求传递函数，。
解（a）令，求。图中有2条前向通路，3个回路，有1对互不接触回路。
则有 令，求。有3条前向通路，回路不变。
则有 b）令，求。图中有1条前向通路，1个回路。
则有 令，求。图中有1条前向通路，回路不变。
则有 令，求。图中有1条前向通路，回路不变。
则有 c）令，求。图中有3条前向通路，2个回路。
则有 令，求。有1条前向通路，回路不变。则有
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