习题一。
1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件a：
1）掷两枚均匀骰子，观察朝上面的点数，事件a表示“点数之和为7”；
2）记录某**总机一分钟内接到的呼唤次数，事件a表示“一分钟内呼唤次数不超过3次”；
3）从一批灯泡中随机抽取一只，测试它的寿命，事件a表示“寿命在2 000到2 500小时之间”.
2. 投掷三枚大小相同的均匀硬币，观察它们出现的面。
1）试写出该试验的样本空间；
2）试写出下列事件所包含的样本点：a=，b=，c=；
3）如记=（i=1，2，3），试用表示事件a，b，c.
3. 袋中有10个球，分别编有号码1～10，从中任取1球，设a＝，b＝，c=，问下列运算表示什么事件：
4. 在区间上任取一数，记，，求下列事件的表达式：（1）；（2）；（3），（4）.
5. 用事件a，b，c的运算关系式表示下列事件：
1）a出现，b，c都不出现；
2）a，b都出现，c不出现；
3）所有三个事件都出现；
4）三个事件中至少有一个出现；
5）三个事件都不出现；
6）不多于一个事件出现；
7）不多于二个事件出现；
8）三个事件中至少有二个出现。
6. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三个产品，设表示事件“第次抽到废品”，试用的运算表示下列各个事件：
1）第一次、第二次中至少有一次抽到废品；
2）只有第一次抽到废品；
3）三次都抽到废品；
4）至少有一次抽到合格品；
5）只有两次抽到废品。
7. 接连进行三次射击，设=（i＝1，2，3），试用表示下述事件：1）a=；
4）d=.8. 盒中放有a个白球b个黑球，从中有放回地抽取r次（每次抽一个，记录其颜色，然后放回盒中，再进行下一次抽取）.记=（i＝1，2，…，r），试用{}表示下述事件：
1）a=；2）b=，其中。
9. 试说明什么情况下，下列事件的关系式成立：
1）abc=a；（2）.
习题二。1. 从一批由45件**、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。
2. 一口袋中有5个红球及2个白球。从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球。设每次取球时口袋中各个球被取到的可能性相同。求：
1）第一次、第二次都取到红球的概率；
2）第一次取到红球、第二次取到白球的概率；
3）两次取得的球为红、白各一的概率；
4）第二次取到红球的概率。
3. 一个口袋中装有6只球，分别编上号码1～6，随机地从这个口袋中取2只球，试求：
1）最小号码是3的概率；（2）最大号码是3的概率。
4. 一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样。接连取2次，每次随机地取1只，试求下列事件的概率：
1）2只都是合格品；
2）1只是合格品，一只是不合格品；
3）至少有1只是合格品。
5. 从某一装配线上生产的产品中选择10件产品来检查。假定选到有缺陷的和无缺陷的产品是等可能发生的，求至少观测到一件有缺陷的产品的概率，结合“实际推断原理”解释得到的上述概率结果。
6. 某人去银行取钱，可是他忘记密码的最后一位是哪个数字，他尝试从0～9这10个数字中随机地选一个，求他能在3次尝试之中解开密码的概率。
7. 掷两颗骰子，求下列事件的概率：
1）点数之和为7；（2）点数之和不超过5；（3）点数之和为偶数。
8. 把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住8人，试求这三名学生住在不同宿舍的概率。
9. 总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位秘书，求下列事件的概率：
1）事件a=；
2）事件b=；
3）事件c=.
10. 甲袋中有3只白球，7只红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球，现从两个袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。
11. 有一轮盘游戏，是在一个划分为10等份弧长的圆轮上旋转一个球，这些弧上依次标着0～9十个数字。球停止在那段弧对应的数字就是一轮游戏的结果。
数字按下面的方式涂色：0看作非奇非偶涂为绿色，奇数涂为红色，偶数涂为黑色。事件a=，事件b=.
求以下事件的概率：
12. 设一质点一定落在xoy平面内由x轴，y轴及直线x+y=1所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，即落在这三角形内任何区域上的可能性与这区域的面积成正比，计算这质点落在直线x=的左边的概率。
13. 甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6 h，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率。
14. 已知，，，求：
15. 设a，b是两个事件，已知p（a）=0.5，p（b）=0.7， =0.8，试求：p（a-b）与p（b-a）.
16. 盒中装有标号为1~r的r个球，今随机地抽取n个，记录其标号后放回盒中；然后再进行第二次抽取，但此时抽取m个，同样记录其标号，这样得到球的标号记录的两个样本，求这两个样本中恰有k个标号相同的概率。
习题三。1. 已知随机事件a的概率，随机事件b的概率及条件概率，试求及。
2. 一批零件共100个，次品率为10％，每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取得**的概率。
3. 某人有一笔资金，他投入**的概率为0.58，购买**的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19.
1）已知他已投入**，再购买**的概率是多少？
2）已知他已购买**，再投入**的概率是多少？
4. 罐中有m个白球，n个黑球，从中随机抽取一个，若不是白球则放回盒中，再随机抽取下一个；若是白球，则不放回，直接进行第二次抽取，求第二次取得黑球的概率。
5. 一个食品处理机制造商分析了很多消费者的投诉，发现他们属于以下列出的6种类型：
如果收到一个消费者的投诉，已知投诉发生在保质期内，求投诉的原因是产品外观的概率。
6. 给定，，，验证下面四个等式：
7. 已知甲袋中装有6只红球，4只白球，乙袋中装有8只红球，6只白球。求下列事件的概率：
（1）随机地取一只袋，再从该袋中随机地取一只球，该球是红球；（2）合并两只口袋，从中随机地取1只球，该球是红球。
8. 设某一工厂有a，b，c三间车间，它们生产同一种螺钉，每个车间的产量，分别占该厂生产螺钉总产量的％，每个车间成品中次货的螺钉占该车间出产量的百分比分别为％.如果从全厂总产品中抽取一件产品，（1）求抽取的产品是次品的概率；（2）已知得到的是次品，求它依次是车间a，b，c生产的概率。
9. 某次大型体育运动会有1 000名运动员参加，其中有100人服用了违禁药品。在使用者中，假定有90人的药物检查呈阳性，而在未使用者中也有5人检验结果显示阳性。
如果一个运动员的药物检查结果是阳性，求这名运动员确实使用违禁药品的概率。
10. 发报台分别以概率0.6和0.
4发出信号“*”和“—”由于通信系统受到干扰，当发出信号“*”时，收报台未必收到信号“*”而是分别以概率0.8和0.2收到信号“*”和“—”同样，当发出信号“—”时，收报台分别以概率0.
9和0.1收到信号“—”和“*”求：（1）收报台收到信号“*”的概率；（2）当收报台收到信号“*”时，发报台确是发出信号“*”的概率。
11. 甲袋中有4个白球6个黑球，乙袋中有4个白球2个黑球。先从甲袋中任取2球投入乙袋，然后再从乙袋中任取2球，求从乙袋中取到的2个都是黑球的概率。
12. 设事件相互独立。证明：相互独立，相互独立。
13. 设事件与相互独立，且，.求下列事件的概率：
14. 已知事件与相互独立，且，.求：.
15. 三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为0.25，0.35，0.4，求此密码被译出的概率。
16. 设六个相同的元件，如下图所示那样安置**路中。设每个元件不通达的概率为p，求这个装置通达的概率。假定各个元件通达、不通达是相互独立的。
17. （配对问题）房间中有n个编号为1~n的座位。今有n个人（每人持有编号为1~n的票）随机入座，求至少有一人持有的票的编号与座位号一致的概率。
提示：使用概率的性质5的推广，即对任意n个事件，有。
18. （波利亚（pólya）罐子模型）罐中有a个白球，b个黑球，每次从罐中随机抽取一球，观察其颜色后，连同附加的c个同色球一起放回罐中，再进行下一次抽取。试用数学归纳法证明：
第k次取得白球的概率为（为整数）.（提示：记，使用全概率公式及归纳假设。
）19. 甲乙两人各自独立地投掷一枚均匀硬币n次，试求：两人掷出的正面次数相等的概率。
20. 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作。若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作日里发生3次故障的概率。
21. 灯泡耐用时间在1 000 h以上的概率为0.2，求：三个灯泡在使用1 000 h以后最多只有一个坏了的概率。
22. 某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻t，各电梯正在运行的概率均为0.75，求：（1）在此时刻所有电梯都在运行的概率；
（2）在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率；
（3）在此时刻至少有1台电梯在运行的概率。
23. 设在三次独立试验中，事件a在每次试验**现的概率相同。若已知a至少出现一次的概率等于，求事件a在每次试验**现的概率。
概率论全部
概率论习题。一 概念題。1 样本空间 随机试验e的所有可能結果組成的集合，称为e的样本空间。2 随机事件 试验e的样本空间s的子集，称为e的随机事件。3 必然事件 在每次試驗中總是發生的事件。4 不可能事件 在每次試驗中都不會發生的事件。5 概率加法定理 p a b p a p b p ab 6 概...
概率论习题
1.证明不等式 设是随机变量，则。其中，式中等号成立的充要条件 当时是 当时是同号 当时是中至多有一个不为零。证明 的情形 设是以概率分别取为值的随机变量，则。利用不等式 取 则 对上式两端取数学期望得 在上式中等号成立的充要条件是，再由绝对值的性质知中等号成立的充要条件是。的情形 只需证明不全为零...
概率论习题
概率论与数理统计练习册。复习题和自测题解答。第一章复习题。1 一个工人生产了n个零件，以事件表示他生产的第i个零件是 i 1，2，3，n 用表示下列事件 1 没有一个零件是次品 2 至少有一个零件是次品 3 仅仅只有一个零件是次品 4 至少有两个零件是次品。解 1 2 任意两个正整数，求它们的和为偶...