期末考试参***及评分标准。
一、填空题（每小题5分， 共30分）
1、设为独立同分布的随机变量序列，且数学期望和方差分别为和，当充分大时候，近似服从什么分布。
解4分。所以1分。
2、设随机变量和独立，，，求。
解：，,2分。
故，又相互独立，所以2分。
所以1分。3、设随机变量，利用切比雪夫不等式估计。
解： 2分。
所以3分。4、设总体，为总体的一个样本，确定常数使得。
服从分布。解2分。
所以2分。即当时服从分布1分。
5、设随机变量， 求。
解： =0.9755分。
6、设总体的数学期望为。方差为。由于是来自的一个简单随机样本，则，进而有2分。故。2分。
所以是总体方差的无偏估计1分。
二、（10分）一加法器同时收到20个噪声电压，设它们是相互独立的随机变量，且都服从上的均匀分布。记，试用中心极限定理求的近似值。（注：，）
解：解：由于相互独立的随机变量，且都服从上的均匀分布，易知2分。
由中心极限定理，随机变量近似服从正态分布3分。
于是得2分。
3分。三、（15分）设的联合分布律为。
问和是否相关？是否独立？并验证你的结论。
解：12分。
2分。2分。
则有2分。进而2分。
所以和不相关。
2） 因2分。
故2分。所以和不独立1分。
四、（15分）设为总体的一个样本，的密度函数。
求参数的矩估计值和极大似然估计值。
解：解：（1），解得3分。
得矩估计量，矩估计值为3分。
2）似然函数为。
4分。当时，取对数得。
2分。求导数并其为零得 ，得最大似然估计值为3分。
五、（15分）某地早稻收割根据长势估计平均亩产为210kg，收割时随机地抽取了10块，测出每块的实际亩产量后经计算后得它们的平均值为220kg，如果已知早稻亩产量， 试问所估产量是否正确？取显著性水平。（注：
）解：根据题意需检验假设：
2分。早稻亩产量，故统计量3分。
给定的显著性水平，有，则可得拒绝域5分。
把样本平均值220和代入，得到其实测值，……3分。
即的值落入拒绝域中，所以在显著性水平的条件下拒绝，即说明所估产量不正确2分。
六、（15分）设某批铝材料比重近似服从正态分布，和均未知。现抽取了样本容量为25的一样本，并测得样本均值，标准差，试分别求和的置信度为90%的置信区间。
注： 解：（1）由于未知，，可知2分。
所以有，即。
可得的置信度为的置信区间为3分。
已知，，，代入上式可得的一个置信度为90%的置信区间：
2分。2）由于，可知2分。
所以有。即，可得的置信度为的置信区间为：
4分。已知，，，代入上式，可得的一个置信度为90%的置信区间：2分。
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