1、如图，在四棱锥p-abcd中，pa⊥平面abcd，bc//ad，ab=cd，∠abc=120°，ad=pa=2ab 点e,f分别在棱pd,pc上，且满足pe/pd=pf/pc=μ∈0，1）（1）求证：ef⊥平面pac (2)当μ=4/7时，求证：平面aef⊥平面pcd
提示：根据四边形abcd是等腰梯形，且∠abc=60°，不难证明ac⊥cd，由ap⊥面abcd得ap⊥cd
所以：由cd分别垂直相交的直线pa,ac，所以：cd垂直平面pac
而由：pe/pd=pf/pc=μ∈0，1）得知ef∥cd
所以：ef⊥面pac
第二问：由cd⊥面pac，af在面pac内得知af⊥cd，即af⊥ef
另外：ac长可求，从而求得pc的长度，所以根据μ=4/7求得pf的长，从而得出ap=pf*pc，即△paf∽△pca
所以：∠pfa=∠pac=90°
所以：af⊥pc
所以：直线af⊥面pcd
所以：面aef⊥面pcd
2、空间四边形vabc的各边及对角线均为1，m是vb的中点，则平面acm与平面vab的位置关系
平面acm⊥平面vab.
证明：因为空间四边形vabc的各边及对角线均为1
所以：△abv、△bcv都是等边三角形。
所以：am⊥bv、cm⊥bv
且：am交cm于m点。
所以：直线bv⊥平面acm
而：平面abv是经过直线bv的平面。
所以：平面abv⊥平面acm
3、在空间四边形abcd中，bc=ac，ad=bd，作be丄cd，e为垂足，作ah丄be于h，求证：ah丄面bcd
证明：设ab的中点为f，连接df,cf.则ab⊥df，ab⊥cf
所以：ab⊥面cdf
而cd在面cdf内。
所以：ab⊥cd.
而be⊥cd
且ab,be交于b点。
所以：cd⊥面abe
而ah在面abe内。
所以：cd⊥ah
而be⊥ah,且be，cd相交。
所以：ah⊥面bcd
4、正方体abcd-a1b1c1d1中，求bb1与平面bc1d所成角的正切值
解；如图。设ac,bd交于m点。则：
mc=(√2)c1c/2，且△mc1c是rt△。
所以：tg∠mc1c=mc/c1c=(√2)/2
由于cm⊥bd （正方形的对角线互相垂直）
又由于c1m⊥bd （等边△一边上的中线也是这边上的高）
所以：bd⊥面mc1c
而bd在面bc1d上。
所以：面bc1d⊥面mc1c
所以：∠mc1c是直线c1c与面bc1d所成的角，而：c1c∥bb1
所以：∠mc1c也是直线bb 1与面bc1d所成的角。
所以：bb1与平面bc1d所成角的正切值是(√2)/2
5、在底面是直角梯形的四棱锥s-abcd中，∠abc=∠bad=90°，sa⊥面abcd，sa=bc=ab=1,ad=1/2,求scd与sba所成二面角的大小。
解：简单说一下。
延长ba,cd交于e点，则：a,d分别是be,ce的中点。
所以：sa=ae=ab=bc=1,ed=dc=√[ab+(bc/2)]=5)/2
而sd=√[sa+ad]=(5)/2
所以：sd=ed
取es的中点f。则：df⊥es,af⊥es
即：角dfa是面aes和面des的二面角，也是面sab和面sdc的二面角。
在rt△eas中，es=√[sa+ae]=√2，所以：sf=ef=(√2)/2
所以：df=√(ed-ef）=（3）/2 ， af=√(as-sf）=（2）/2
而：ad=1/2
所以有：df=ad+af ，即△daf是直角三角形。
所以：sin∠dfa=ad/df=(√3)/3
从而求出∠dfa的度数。
另一作法：二面角的余弦即为三角形sba与scd面积之比
6、cc1bb1是矩形，abb1n是直角梯形，cb垂直底面，ab=bc=an=4，bb1=8
求二面角c-nb1-c1
解：由题中给出的条件可求出。
b1n=bn=4√2，cn=4√3，cb1=4√5
从而知：b1n+cn=b1c
即：cn⊥b1n
而c1b1⊥b1n
所以：直线cn和直线c1b1所成的角就是二面角c-nb1-c1的平面角。
由于c1b1‖bc,bc和cn交于c点。
所以：∠bcn就是二面角c-nb1-c1的平面角。
在直角△bnc中，bn=4√2，bc=4，cn=4√3求∠bcn的度数应该不难吧，你自己作一下吧。
7、pa垂直平面abcd，mn分别是pc和ab的中点。证明：mn平行于平面pad.
证明：设dc的中点为e则：me‖pq,ne‖ad
而pd和ad交于d,me和ne交于e，所以；平面apd‖平面mne
而mn在平面mne内。
所以；mn‖平面pad
8、正方体ac1中，g,h分别是bc和cd得中点，求证：d1、b1、g、h、四点共面。
证明：连接gh、db、d1b1，因为：gh是△dbc的bd边上的中位线。
所以：gh‖db
在四边形dd1b1b中，因为：dd1‖bb1，dd1=bb1
所以：四边形dd1 b1b是平行四边形。
所以：db‖d1b1
所以：gh‖d1b1
所以；直线gh和d1b1确定一个平面。
所以：点d1、b1、g、h四点在同一个平面内。
9、在四面体abcd中，0是bd的中点，△abd和△bcd均为等边三角形，ab=2,ac=根号6
求证ao垂直平面bcd
证明：因为：△abd和△bcd都是等边三角形，且o是bd的中点。
所以：ao⊥bd co⊥bd
又因为：ab=2
所以：ao=co=√3
而：ac=√6
所以：ao+oc=ac=6
所以：△aoc是等腰直角三角形。
所以：ao⊥oc
因此：由ao⊥oc ao⊥bd bd和co又是平面bcd上相交的两条直线得 ao⊥面bcd
10、直三棱柱abc-a'b'c'的体积是v,d,e分别在aa',bb'上，线段de经过矩形abb'a'的中心，则四棱锥c-abed的体积是多。
解：由于棱锥abc-a'b'c'是直棱锥，所以：面abc⊥面abed
若过c点且垂直ab的线段为h,则h⊥面abed
而de经过矩形abb'a'的中心。
所以：de平分矩形abb'a'的面积，即四边形abed的面积=（1/2)ab*aa'
abc的面积为（1/2）ab*h ， 说明：h是△abc的ab边上的高）
所以：原三棱柱的体积 v=(1/2)ab*h*aa'
四棱锥c-abed的体积v'=（1/3）*（1/2)ab*aa'*h
所以：v'=（1/3）v
即：四棱锥c-abed的体积是 （1/3）v
11、四棱锥p-abcd中底面abcd为菱形，∠abc=60,pa⊥面abcd，e为bc中点，证ae⊥pd
证明：因为pa⊥面abcd，ae在平面abcd内。
所以：pa⊥ae
在棱形abcd中，因为∠b=60°，所以：△abc是等边三角形。
而e是bc的中点。
所以：ae⊥bc
而ad‖bc
所以：ae⊥ad
又因为：pa,ad是平面adp内相交的两条直线。
所以：直线ae⊥面adp
而直线pd在平面adp内。
所以：ae⊥pd.
12、某高一几何题（有图）：在三棱锥s-abc中，△abc是边长为4的正三角形，平面sac⊥平面abc，sa=sc=2 √3，m、n分别为ab、sb的中点。
ⅰ）求二面角n-cm-b的大小；（ⅱ求点b到平面cmn的距离。
解：过s作直线ac的垂线se，垂足为e，连接be，则：
ae=ec=2，es=√（as-ae）=2√2
be=2√3
同时可得知se⊥平面abc,有se⊥be
所以：bs=√（be+se）=2√5
所以：bn=√5
在三角形seb内作no⊥be，则no垂直平面abc，过o作of⊥mc,则∠nfo是二面角n-cm-b的平面角。
设be和cm交于g。则gb=(2/3)*2√3=(4/3)√3
所以：go=(4/3)√3-√3=(1/3)√3
所以：of/bm=og/bg=of/2=1/4
所以；of=1/2
而on=√5
所以：tg∠nfo=2√5，查表可求出∠nfo的度数。
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